#4. Ingkaran dari Operasi Logika

Assalamu'alaikum wr.wb.

Materi berikutnya adalah Ingkaran dari operasi logika matematika. Mohon agar dapat diperhatikan. Materi ini sangat saudara perlukan dalam kaitannya dengan mata kuliah Analisis Real, kalkulus dan aljabar. Terutama pada saat pembuktiak reductio ad absordum. Silahkan saudara pahami sebentar untuk kemudian didiskusikan dengan rekan.

Referensi

1. Chotim, M. 2007. Kalkulus 2 (Handout). Semarang: Unnes (Tidak diterbitkan)

(1) Ingkaran dari Konjungsi.
Untuk menentukan ingkaran dari konjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:



Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

1. 10 adalah bilangan asli dan 10 habis dibagi 5.
2. 3 adalah faktor dari 8 dan 3 adalah bilangan prima.
3. Gedung lawang sewu terletak di kota Semarang dan Pasar Johar siang hari ramai pengunjung.
4. Hari ini hujan dan air sungai meluap.

Penyelesaian:

1. 10 tidak bilangan asli atau 10 tidak habis dibagi 5.
2. 3 tidak faktor dari 8 atau 3 tidak bilangan prima.
3. Gedung lawang sewu tidak terletak di kota Semarang atau Pasar Johar siang hari tidak ramai pengunjung.
4. Hari ini tidak hujan atau air sungai tidak meluap.

(2) Ingkaran dari Disjungsi.
Demikian pula untuk menentukan ingkaran dari disjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:



Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

1. 10 adalah bilangan asli atau 10 habis dibagi 5.
2. 3 adalah faktor dari 8 atau 3 adalah bilangan prima.
3. Gedung lawang sewu terletak di kota Semarang atau Pasar Johar siang hari ramai pengunjung.
4. Hari ini hujan atau air sungai meluap.

Jawab:

1. 10 tidak bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5.
2. 3 tidak faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima.
3. Gedung lawang sewu tidak terletak di kota Semarang dan Pasar Johar siang hari tidak ramai pengunjung.
4. Hari ini tidak hujan dan air sungai tidak meluap.

(3) Ingkaran dari Implikasi.
Untuk menentukan ingkaran dari implikasi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:



Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

1. Jika 10 adalah bilangan asli maka 10 habis dibagi 5.
2. Jika 3 adalah faktor dari 8 maka 3 adalah bilangan prima.
3. Jika 4 + 6 > 10 maka harimau bintang buas.
4. Jika hari ini hujan maka air sungai meluap.

Penyelesaian:

1. 10 adalah bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5 .
2. 3 adalah faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima
3. 4 + 6 > 10 dan harimau tidak binatang buas .
4. Hari ini hujan dan air sungai tidak meluap.

(4) Ingkaran dari Biimplikasi.
Demikian pula untuk menentukan ingkaran dari biimplikasi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:




Dalam membuat tabel kebenaran yang perlu diperhatkan adalah semua proposisi yang dibutuhkan diusahakan dibuat:

Contoh:

Buatlah tabel kebenaran dari {(p ∨ ~r) ∧ q} ⇔ (~q ⇒ r)

Penyelesaian :



Contoh:

Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

1. 10 adalah bilangan asli jika dan hanya jika 10 habis dibagi 5.
2. 3 adalah faktor dari 8 jika dan hanya jika 3 adalah bilangan prima.
3. 4 + 6 > 10 jika dan hanya jika harimau binatang buas.
4. Hari ini hujan jika dan hanya jika air sungai meluap.

Penyelesaian:

1. Tulis:
   p: 10 adalah bilangan asli
   q: 10 tidak habis dibagi 5.
   Jelas ¬(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p).
   Jadi ¬(p ⇔ q) ≡ 10 adalah bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5 atau 10 habis dibagi r dan 10 bukan bilangan asli.
2. 3 adalah faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima atau 3 adalah bilangan prima dan 3 tidah faktor dari 8.
3. 4 + 6 > 10 dan harimau tidak binatang buas atau harimau binatang buas dan 4 + 6 ≤ 10.
4. Hari ini hujan dan air sungai tidak meluap atau air sungai meluap dan hari ini tidak hujan.

Tugas 3.
Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut :

1. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°
2. Melalui dua buah titik dapat dibuat sebuah garis lurus.
3. Dua garis sejajar tidak mungkin berpotongan. .
4. 114 habis dibagi dengan 4.
5. Sudut 91 derajat adalah sudut sudut tumpul.
6. x bilangan negatif ditulis x < 0

Tentukan nilai kebenaran dari pernyatakan berikut:

1. 3 adalah factor dari 113 dan 2 bukan bilangan prima.
2. Sin²x + cos²x = 1 dan Gedung lawang sewu terletak di Semarang.
3. Tahun 2000 merupakan tahun kabisat atau Indonesia merupakan negara agraris.
4. 7+ 8 = 15 atau 15 adalah bilangan prima.
5. Jika Indonesia anggota PBB maka Indonesia anggota OPEC.
6. Jika Jika 3 x 2 > 9 maka ²log 8 = 4.
7. Jika 5 adalah factor dari 125 maka 20 habis dibagi 5.
8. Bangun ABCD merupakan bujur sangkar jika dan hanya jika ABCD persegi.
9. Akar-akar persamaan kuadrat mrupakan bilangan riil jika dan hanya jika Diskriminannya lebih besar nol.
10. 5 bilangan genap jika dan hanya jika 52 = 30.

Jika p pernyataan yang bernilai benar dan q pernyataan yang bernilai salah, tentukanlah nilai kebenaran proposisi berikut ini:
(a) ~p ∧ q
(b) ~p ∧ ~q
(c) p ∨ ~q
(d) ~p ∨ ~q
(e) (p ∧ ~q) ∨ (~p ∨ q)
(f) (~p ∨ ~q) ∧ (~p ∧ ~q)
(g) (~p ⇒ q) ∧ (~p ∧ ~q)
(h) (~p ∧ q) ⇒ (~p ⇒ ~q)
(i) (p ⇔ ~q) V (~p ⇒ ~q)
(j) ~(~p ⇒ q) ⇔ (p ∨ ~q)

Buatlah tabel kebenaran proposisi untuk pertanyaan soal berikut ini:

(a) (~p ∧ q) ∨ (p ∨ ~q)
(b) (~p ∧ q) ⇒ (p ⇒ ~q)
(c) (p ⇔ q) ∨ (~p ⇒ ~q)
(d) (p ∨ ~q) ⇔ ( ~p ∧ r)
(e) (~p ∨ r) ⇒ (q ⇔ ~r)
(f) {(p ⇒ ~r) ∨ q} ⇔ {(~p ∨ ~q) ⇔ r}

Jika nilai kebenaran suatu proposisi adalah benar semua maka disebut tautology sedang jika diperoleh nilai salah semua disebut kontradiksi.

Selidikilah dengan membuat tabel kebenaran terlebih dahulu proposisi berikut ini merupakan tautologi atau merupakan kontradiksi.

(a) p ⇒ ( p ∨ q )
(b) ( p ∧ q ) ∧ ~( p ⇒ q )
(c) ( p ∧ q ) ⇒ p
(d) ~p ∧ ~( p ⇒ q )
(e) q ⇒ ( p ∨ q )
(f) {( p ⇒ q ) ∧ p} ⇒ q
(g) {( p ⇒ q ) ∧ ~q} ⇒ ~p
(h) {( p ⇒ q ) ∧( q ⇒ r )} ⇒ ( p ⇒ r )

Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut:

(a) Indonesia merupakan negara agraris dan maritim.
(b) Temanduduk saya anak yang pemalu atau pendiam.
(c) 2x + 4 = 12 atau 6 + 5 > 10
(d) cos2x = 1 – 2sin²x dan 5 + 6x ≤ 17
(e) Saya berangkat sekolah naik Bus kota dan harus membayar.
(f) x² – 2x – 8 = 0 atau x = 4 atau x = -2

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut:

(a) Jika sin²x + cos²x = 1, maka Jakarta ibukota RI
(b) Jika 2 + 4 = 6, maka 2 x 4 = 8
(c) Hari ini hujan jika dan hanya jika air sungai itu meluap
(d) Jika segiempat itu bujur sangkar, maka sisinya sama panjang dan sudut sudutnya 90°
(e) Segitiga ABC samakaki jika dan hanya jika sudut alasnya sama besar.
(f) Jika harga minyak naik maka harga semua barang naik
(g) Semua siswa naik kelas jika dan hanya jika semua siswa bergembira
(h) AC tegak lurus BD jika dan hanya jika ABCD layang-layang
(i) Jika petani menanam padi maka harga beras turun.
(j) Jika hujan turun maka air sungai meluap.