#5. Fungsi Predikat dan Kalimat Berkuantor

Assalamu'alaikum wr. wb.

Materi kelima adalah tentang fungsi predikat dan kalimat berkuantor. Memahami materi ini memang tidak begitu mudah, namun sungguh saya yakin, saudara telah pernah bertemu dengan makanan berikut ini. Nikmati saja ya.

Referensi

1. GRIMALDI, R.P., "Discrete and Combinatorial Mathematics - An Applied Introduction", 2nd Edition, Addison Wesley Publishing Company, Massachusetts, 1989.
2. JOHNSONBAUGH, R., "Matematika Diskrit", Edisi ke 4, Jilid I dan II, PT. Prenhallindo, Jakarta, 1998.
3. ROSEN, K.H., "Discrete Mathematics and Its Application", 5th Edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 2003.
4. TREMBLAY, J.P. AND MANOHAR,R., "Discrete Mathematical Structures with Apllications to Computer Science", McGraw-Hill Book Company, New York, 1988.

Definisi (Fungsi proposisi/Predikat)
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of discourse) dari P.

CONTOH (1)
Berikut ini beberapa contoh fungsi proposisi:

1. n² + 2n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal himpunan bilangan bulat.
2. x² – x – 6 = 0, dengan daerah asal himpunan bilangan real.
3. Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 pada tahun 1974, dengan daerah asal himpunan pemain bisbol.

Sebuah predikat seringkali menyatakan sebuah hubungan relasional antara: konstanta, variabel dan fungsi.

Simbol-simbol yang digunakan dalam logika predikat:

1. Simbol konstanta : a, b, c, d.
2. Simbol variabel : x, y, z, w.
3. Simbol fungsi : f, g, h.
4. Simbol predikat : P, Q, R, S.

CONTOH (2)
Beberapa contoh predikat:

1. 2x+3 < 5, dengan x bilangan bulat positip dapat ditulis sebagai untuk setiap x (bulat positip), P(x) : f(x) < 5
2. x + y ≤ x - y, dengan x dan y bilangan real dapat ditulis sebagai untuk setiap x,y anggota himpunan bilangan (real),
   Q(x, y) : f(x, y) ≤ g(x, y)
3. jika x > 0 maka 4x + 1 > 1, dengan x bilangan bulat dapat ditulis sebagai beberapa x anggota himpunan biangan (bulat), jika R(x) : x > 0, maka S(x) : h(x) > 1

Predikat P(x) menyatakan hubungan relasional antara fungsi f(x) dan konstanta 5. Predikat Q(x; y) menyatakan hubungan relasional antara fungsi f(x; y) dengan fungsi g(x; y). Contoh ketiga memuat penghubung bersyarat "jika ... maka ... " dengan premis predikat R(x) dan konklusi predikat S(x).

Definisi (Kuantor)
Misalkan P(x) adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D.
Pernyataan "untuk setiap x, P(x)" dikatakan sebagai pernyataan kuantor universal dan secara simbolik ditulis sbb:

∀x; P(x)

Simbol "∀" disebut kuantor universal.

Pernyataan "untuk beberapa x, P(x)" dikatakan sebagai pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbolik ditulis sbb:

∃x; P(x)

Simbol "∃" disebut kuantor eksistensial.

Pernyataan untuk setiap x, P(x) bernilai benar jika untuk setiap x anggota D, maka P(x) bernilai benar. Pernyataan beberapa x, P(x) bernilai benar jika terdapat sekurang-kurangnya satu x anggota D sehingga P(x) bernilai benar. Jadi untuk mengevaluasi sebuah proposisi dalam bentuk simbolik dan memuat predikat, kita harus menetapkan daerah asal dari setiap variabelnya dan memberikan interpretasi terhadap fungsi dan predikat yang ada didalamnya.

CONTOH (3)
Tulislah proposisi berikut secara simbolik:

"Untuk setiap bilangan bulat positip yang habis dibagi dengan 6 juga habis dibagi dengan 3"

Jawaban:

Misalkan: Predikat "x habis dibagi dengan y" secara simbolik ditulis sebagai P(x,y). Maka predikat "x habis dibagi 6 juga habis dibagi 3" secara simbolik dapat ditulis sbb:
Jika P(x,6) maka P(x,3)
Jadi proposisi yang ditanyakan secara simbolik dapat ditulis sbb:
x, Jika P(x,6), maka P(x,3)
dengan daerah asal himpunan bilangan bulat positip.

CONTOH (4)
Evaluasilah apakah proposisi berikut benar atau salah:
x y, Q(x,y) dengan Q(x,y) mempunyai interpretasi 2x = y dan x, y mempunyai daerah asal himpunan bilangan ganjil.

Jawaban:
Proposisi tersebut dapat dikatakan sbb:
Untuk setiap bilangan ganjil x dapat ditemukan bilangan ganjil y sehingga 2x=y.
Karena untuk setiap x bilangan ganjil 2x bilangan genap, maka bilangan y adalah genap (dengan kata lain bilangan ganjil y tak pernah ditemukan).
Jadi proposisi yang ditanyakan bernilai salah.