Contoh Soal Induksi Matematika

Assalamu'alaikum wr.wb. Kembali hari ini disajikan satu contoh soal induksi matematika. Sedangkan penjelasan umum mengenai induksi matematika telah tersaji disini.

1. Diberikan P(n) ≡ n³ + 5n. Tunjukkan P(n) habis dibagi 6, untuk semua n ∈ N.

Penyelesaian:

Tulis:
N : himpunan bilangan asli (Natural).

Diberikan P(n) ≡ n³ + 5n.

Ditunjukkan P(1) benar.
Jelas P(1) ≡ 1³ + 5.1 = 1 + 5 = 6.
Jelas 6 habis dibagi 6.
Jadi P(1) benar. ... (1*)

Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 6 maka P(k + 1) habis di bagi 6. ... (#)

Untuk membuktikan implikasi (#), dibutuhkan lemma (*) berikut:
Pada himpunan bilangan asli berlaku, hasil kali dua bilangan asli berurutan adalah genap, atau dapat ditulis: jika m ∈ N maka berlaku (m).(m + 1) = 2n, untuk suatu n ∈ N.

Dipunyai P(k) benar.
Jelas P(k) ≡ k³ + 5k = 6m, untuk suatu m ∈ N. ... (2*)
Jelas P(k + 1) ≡ (k + 1)³ + 5(k + 1)
= k³ + 3k² + 3k + 1 + 5k + 5
= k³ + 5k + 3k² + 3k + 6
= 6m + 3(k)(k + 1) + 6        [sesuai dengan (2*), k³ + 5k = 6m, untuk suatu m ∈ N]
= 6m + 3.2n + 6
= 6m + 6n + 6                     [sesuai dengan lemma (*) di atas]
= 6.(m + n + 1)
= 6p, untuk suatu p ∈ N.

Diperoleh P(k + 1) = 6p, untuk suatu p ∈ N.
Jadi P(k + 1) habis dibagi 6. ... (3*)

Dari (1*) dan (3*) disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.