Sunday, January 1, 2012

Contoh Soal Induksi Matematika

Assalamu'alaikum wr.wb. Kembali hari ini disajikan satu contoh soal induksi matematika. Sedangkan penjelasan umum mengenai induksi matematika telah tersaji disini.
  1. Diberikan P(n) n3 + 5n. Tunjukkan P(n) habis dibagi 6, untuk semua n N.
Penyelesaian:
Tulis:
N : himpunan bilangan asli (Natural).

Diberikan P(n)  n3 + 5n.

Ditunjukkan P(1) benar.
Jelas P(1)  13 + 5.1 = 1 + 5 = 6.
Jelas 6 habis dibagi 6.
Jadi P(1) benar. ... (1*)

Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 6 maka P(k + 1) habis di bagi 6. ... (#)
Untuk membuktikan implikasi (#), dibutuhkan lemma (*) berikut:
Pada himpunan bilangan asli berlaku, hasil kali dua bilangan asli berurutan adalah genap, atau dapat ditulis: jika m  N maka berlaku (m).(m + 1) = 2n, untuk suatu n  N.
Dipunyai P(k) benar.
Jelas P(k)  k3 + 5k = 6m, untuk suatu m  N. ... (2*)
Jelas P(k + 1)  (k + 1)3 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 5k + 5
= k3 + 5k + 3k2 + 3k + 6
= 6m + 3(k)(k + 1) + 6        [sesuai dengan (2*), k3 + 5k = 6m, untuk suatu m  N]
= 6m + 3.2n + 6
= 6m + 6n + 6                     [sesuai dengan lemma (*) di atas]
= 6.(m + n + 1)
= 6p, untuk suatu p  N.

Diperoleh P(k + 1) = 6p, untuk suatu p  N.
Jadi P(k + 1) habis dibagi 6. ... (3*)

Dari (1*) dan (3*) disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua n  N.
Jadi P(N) benar.



3 comments:

  1. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  2. contoh soaL nya ngebingungin beLum bisa di mengerti . . .Terimasih sudah berbagi :)

    ST3 Telkom

    ReplyDelete

Artikel Lainnya