Sunday, January 1, 2012

Soal Induksi Matematika (2)

Assalamu'alaikum wr.wb. Kembali hari ini disajikan satu contoh soal induksi matematika. Sedangkan penjelasan umum mengenai induksi matematika telah tersaji disini.
  1. Diberikan P(n) ≡  52n - 1 . Tunjukkan P(n) habis dibagi 8, untuk semua n ∈ N.
Penyelesaian:
Tulis:
N : himpunan bilangan asli (Natural).

Diberikan P(n) ≡  52n - 1.

Ditunjukkan P(1) benar.
Jelas P(1) ≡  52.1 - 1 = 52 - 1 = 25 - 1 = 24
Jelas 24 habis dibagi 8.
Jadi P(1) benar. ... (1*)

Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 8 maka P(k + 1) habis di bagi 8. ... (#)

Dipunyai P(k) benar.
Jelas P(k) ≡  52k - 1  = 8m, untuk suatu m ∈ N. ... (2*)
Jelas P(k + 1) ≡ 52(k+1) - 1
= 52k+2 - 1
= 52k . 25 - 1
= [(52k - 1).25] + 24               [langkah ini merupakan kunci dari pembuktian]
= [8m.25] + 8.3                      [langkah ini sah karena berdasarkan (2*), 52k - 1  = 8m]
= 8 . (25m + 3)
= 8p, untuk suatu p = 25m + 3, m, p ∈ N.

Diperoleh P(k + 1) = 8p, untuk suatu p ∈ N.
Jadi P(k + 1) habis dibagi 8. ... (3*)

Dari (1*) dan (3*) disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.

2 comments:

Artikel Lainnya