Soal Induksi Matematika (2)

Assalamu'alaikum wr.wb. Kembali hari ini disajikan satu contoh soal induksi matematika. Sedangkan penjelasan umum mengenai induksi matematika telah tersaji disini.

1. Diberikan P(n) ≡  5²ⁿ - 1 . Tunjukkan P(n) habis dibagi 8, untuk semua n ∈ N.

Penyelesaian:

Tulis:

N : himpunan bilangan asli (Natural).

Diberikan P(n) ≡  5²ⁿ - 1.

Ditunjukkan P(1) benar.

Jelas P(1) ≡  5^2.1 - 1 = 5² - 1 = 25 - 1 = 24

Jelas 24 habis dibagi 8.

Jadi P(1) benar. ... (1*)

Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 8 maka P(k + 1) habis di bagi 8. ... (#)

Dipunyai P(k) benar.

Jelas P(k) ≡  5^2k - 1  = 8m, untuk suatu m ∈ N. ... (2*)

Jelas P(k + 1) ≡ 5^2(k+1) - 1

= 5^2k+2 - 1

= 5^2k . 25 - 1

= [(5^2k - 1).25] + 24               [langkah ini merupakan kunci dari pembuktian]

= [8m.25] + 8.3                      [langkah ini sah karena berdasarkan (2*), 5^2k - 1  = 8m]
= 8 . (25m + 3)
= 8p, untuk suatu p = 25m + 3, m, p ∈ N.

Diperoleh P(k + 1) = 8p, untuk suatu p ∈ N.

Jadi P(k + 1) habis dibagi 8. ... (3*)

Dari (1*) dan (3*) disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua n ∈ N.

Jadi P(N) benar.