Pembuktian Teorema

Sederhana saja, artikel ini disajikan untuk memecahkan teorema sederhana berikut. Tinggalkan saja kritik atau sanggahan atas yang kami sajikan. Mungkin belum serta merta menyelesaikan, namun dapat digunakan sebagai pertimbangan untuk memulia langkah dengan analisis versi lain.

Teorema 1.
A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A

Bukti:
(⇒) DITUNUKKAN DARI RUAS KIRI KE RUAS KANAN!
Dipunyai A ⊂ B.
Karena A ⊂ B maka ∀x∈A berlaku x∈B.
Maka berlaku x∈A ⇒ x∈B.
Karena A ⊂ B maka berlaku Bc ⊂ Ac.
Ditunjukkan A ∩ B = A.

(i) Ditunjukkan A ⊂ (A ∩ B).

Ambil sembarang x ∈ A.
Jelas berlaku x ∈ A
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A (menurut hukum idempoten)
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B (menurut definisi A ⊂ B)
⇔ x ∈ (A ∩ B) (menurut definisi irisan)
Diperoleh x ∈ A berlaku x ∈ (A ∩ B).
Karena x adalah sembarang anggota A, maka berlaku ∀x∈A maka x∈ (A ∩ B).
Jadi A ⊂ (A ∩ B).

(ii) Ditunjukkan (A ∩ B) ⊂ A.

Jelas Ac ⊂ (Ac ∪ Bc)
⇔ Ac ⊂ (A ∩ B)c
⇔ (A ∩ B) ⊂ A (menurut sifat komplemen)
Dari (i) dan (ii) diperoleh fakta bahwa (A ∩ B) = A jika A ⊂ B.
Jadi (⇒) berlaku.

(⇐) DITUNJUKKAN DARI RUAS KANAN KE RUAS KIRI!
Dipunyai (A ∩ B) = A. Ditunjukkan A ⊂ B.
Akan ditunjukkan melalui kontraposisinya yang benar, yaitu A ⊄ B ⇒ A ∩ B ≠ A.
Cukup ditunjukkan bahwa (A∩B) ⊄ A atau A ⊄ (A∩B).
Jelas bahwa (A∩B) ⊂ A. Jadi ditunjukkan A ⊄ (A∩B).
Dipunyai A ⊄ B.
Artinya ∃x1∈A namun x1∉B.
Jelas x1∉ (A∩B).
Jadi ∃x1∈A namun x1∉A∩B.
Jadi A⊄ (A∩B).
Jadi jika A ⊄ B maka A ∩ B  A.
Artinya jika A∩B = A maka A⊂B.

Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa A⊂B ⇔ A∩B = A.