Irisan Bidang Alpha melalui 3 Titik tak Segaris

Assalamu'alaykum wr.wb.

Selamat Pagi Saudara Mahasiswa, mohon maaf, hari ini saya tak bisa mendampingi Saudara memahami konsep irisan di geometri ruang. Ada baiknya jika Saudara melakukan diskusi dengan teman kelompok, kemudian hasil diskusi tersebut di posting ke dalam blog Saudara. Saya mengamati belum semuanya blog terisi dengan posting yang bemakna. Jadi, lakukan mulai dari sekarang.

Diskusi hari ini mengenai irisan bidang melalui 3 titik tak segaris. Materi prasyarat untuk memahami materi tersebut adalah pemahaman mengenai garis potong antara 2 bidang. Baca terlebih dahulu, pahami dan kemudian lanjutkan dengan memahami materi ini.

Materi ini berisi seperangkat catatan, tugas dan pertanyaan yang semuanya harus dikerjakan pada buku kerja Saudara.

Irisan bidang dengan suatu bangun ruang

Irisan atau penampang terjadi karena suatu bidang memotong suatu bangun ruang. Bidang irisan yang dimaksud kemudian disebut dengan bidang alpha (α).

Definisi 1:
Penampang atau irisan adalah suatu daerah bidang datar yang dibatasi oleh garis-garis potong bidang itu dengan sisi dari bangun ruang. Penampang atau irisan membagi bangun ruang menjadi dua bagian.

Definisi 2:
Sumbu afinitas (garis dasar) adalah garis potong antara bidang irisan dengan alas bangun ruang yang diirisnya.

Pertanyaan konsep:
Manakah alas dari sebuah kerucut?
Manakah alas dari sebuah limas?
Manakah alas dari sebuah kubus?
Manakah alas dari sebuah balok?

Gambar 1. Ilustrasi bidang irisan

Catatan:

Bidang yang berwarna abu-abu adalah bidang alpha yang dimaksud.


Materi Irisan #1
Irisan bidang alpha melalui 3 titik tak segaris.

Teorema 1:
Melalui 3 titik tak segaris, dapat dibuat tepat 1 bidang.

Bukti: (diserahkan mahasiswa sebagai latihan)

Permasalahan (1)
Lukiskan bidang alpha yang melalui P, Q, dan R terhadap kubus ABCD.EFGH dengan P, Q, dan R adalah masing-masing titik tengah AE, AB, dan BC. Panjang rusuk kubus adalah 6 cm.

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, saya akan menjelaskan langkah-per-langkah proses melukisnya. Perhatikan, saya tak menuntut saudara untuk melukis dengan bentuk stereometris, jadi lukis kubus seefisien mungkin.

Langkah 1: Melukis kubus lengkap.

Lukis kubus ABCD.EFGH dengan ukuran 6 cm, lengkap dengan titik P, Q, dan R.

Langkah 2: Menemukan sumbu afinitas.

Karena ketiga titik sudah jelas, maka langkah selanjutnya adalah menghubungkan ketiga titik tersebut.

Perhatikan bahwa QR merupakan garis potong bidang alpha dengan alas kubus. Dengan demikian, garis QR merupakan sumbu afinitas. Selanjutnya perpanjang sumbu afinitas sampai panjang yang cukup.
Catatan:
Sekarang kita telah memiliki garis potong dengan sisi ABCD. Selanjutnya proses yang lebih mudah adalah mencari garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE.

Langkah 3: Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi yang lain
(dalam proses ini mendahulukan sisi ADHE, saudara silahkan mencoba dengan sisi yang lain terlebih dahulu)

Perhatikan bahwa titik P telah terletak pada bidang ADHE dan P terletak pada bidang alpha. (Why?)
Jelas titik P merupakan titik potong antara bidang alpha dengan sisi ADHE. Artinya untuk menemukan garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE, sukup ditemukan 1 titik yang lain yang merupakan titik potong bidang alpha dan bidang ADHE. (ingat kembali teorema : melalui 2 titik, dapat dibuat tepat 1 garis)

Untuk membuat garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE, perpanjang rusuk AD hingga memotong sumbu afinitas (Why?), sebut titik potongnya adalah titik M1.


Pertanyaan:
Apakah M1 terletak di ADHE?
Apakah P terletak di ADHE?

Tugas:
Hubungkan M1 dan P sampai memotong HE. Sebut perpotongan M1P dan HE dengan nama titik U.

Hasil lukisan adalah sebagai berikut:
Catatan:
Sekarang saudara telah memiliki garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE. Langkah selanjutnya lebih mudah dengan membuat garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG.

Langkah 4: Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG.

Seperangkat tugas yang harus dikerjakan:
Perpanjang DH dan PU, sehingga berpotongan di M2. (Mengapa hal ini diperbolehkan?)
Perpanjang DC sehingga berpotongan dengan sumbu afinitas di M3.


Pertanyaan:
Apakah M2 terletak di CDHG?
Apakah M2 terletak di bidang alpha?
Kalau begitu, disebut apakah M2?

Apakah M3 terletak di CDHG?
Apakah M3 terletak di bidang alpha?
Kalau begitu, disebut apakah M3?

Saya akan menghubungkan M2 dengan M3.

Apakah M2.M3 memotong GH?
Apakah M2.M3 memotong CG?

Sebut titik potong M2.M3 dan GH dengan sebutan titik T, dan sebut titik potong M2.M3 dan CG dengan sebutan titik S.

Gambar lukisan kondisi di atas adalah sebagai berikut?

Catatan:
Sekarang kita telah memiliki garis potong hampir ke semua sisi. Langkah terakhir adalah menguhungkan RS dan TU, dan bidang alpha yang dimaksud adalah PQRSTU.

SELESAI, BAGAIMANA? MUDAH BUKAN?

Nah, sekarang pertanyaan tugas untuk saudara adalah tentukan luas daerah bidang alpha tersebut!
Kerjakan lengkap dengan lukisan gambar pada buku kerja saudara.

TUGAS UNTUK DIDISKUSIKAN DAN DIKERJAKAN:

TUGAS (1)
Lukiskan irisan bidang α yang melalui P, Q, dan R pada kubus ABCD.EFGH. P adalah titik pada perpanjangan BF sehingga BP = BF, dan Q adalah titik potong diagonal AH dan DE, R titik pada rusuk GH sehingga GR:RH = 2:1.

TUGAS (2)

Lukiskan irisan bidang α yang melalui P, Q, dan R pada limas segiempat beraturan T.ABCD. P adalah titik pada rusuk TA dan Q adalah titik pada bidang TBC, R adalah titik tengah rusuk CD.