Kekongruenan untuk Membuktikan Trapesium Sama Kaki

Diberikan lingkaran dengan pusat O dengan jari-jari r. Pada lingkaran tersebut dibangun 2 buah tali busur g dan h sedemikian sehingga g sejajar h. Jika perpotongan g dan h dengan lingkaran terletak di titik PQRS, buktikan bahwa PQRS adalah trapesium sama kaki.

Perhatikan gambar sebagaimana kondisi tersebut di atas.

Bukti:

Tulis

Besar sudut ABC adalah m(ABC), dan

Panjang garis AB adalah d(AB).

Hubungkan pusat lingkaran dengan semua titik P, Q, R, S.

(Catatan: Untuk membuktikan bahwa PQRS trapesium sama kaki, cukup ditunjukkan bahwa segitiga ROP kongruen dengan segitiga QOS)

Jelas RO = PO = QO = OS = r.

(Catatan: Jadi untuk menunjukkan ROP kongruen dengan QOS cukup ditunjukkan bahwa besar sudut QOS = besar sudut ROP)

Bangun diameter lingkaran tegak lurus dengan g.

Jelas segitiga PQO sama kaki mengakibatkan TO adalah garis tinggi segitiga PQO. Akibatnya segitiga PTO kongruen dengan segitiga QTO (mengapa?).

Karena PTO kongruen dengan QTO, berakibat m(POT) = m(QOT).

---

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa m(UOS) = m(UOR).

---

Jelas m(UOS) + m(SOQ) + m(QOT) = m(UOR) + m(ROP) + m(POT) = 180.

Berakibat m(SOQ) = m(ROP).

Karena (i) m(SOQ) = m(ROP); (ii) d(SO) = d(RO); dan (iii) d(QO) = d(PO), maka segitiga SOQ kongruen dengan segitiga ROP karena alasan SAS (Side – Angel – Side).

Karena segitiga SOQ kongruen dengan segitiga ROP, berakibat d(PR) = d(QS), sehingga PQRS adalah trapesium sama kaki.

[CATATAN: BAGAIMANA JIKA TALI BUSUR YANG DIPILIH ADALAH SEBAGAI BERIKUT!]