Pembuktian Kesamaan Dua Himpunan (Tugas Kuliah)

Kuliah pengantar dasar matematika, pada minggu ke 6 dan 7 perkuliahan, ditiadakan. Selanjutnya, diperislahkan kepada mahasiswa untuk dapat memahami permasalahan yang diberikan pada perkuliahan tersebut. Silahkan klik Continue reading.

Tugas Mahasiswa

1. Buktikan bahwa: A⊂B ⇔ A ∩ B^c = ∅
2. Buktikan bahwa: A⊂B^c ⇔ A ∩ B = ∅


Petunjuk:
1. Jelas pernyataan 1. Merupakan bentuk biimplikasi, sehingga untuk menunjukkan kebenaran dari biimplikasi, Saudara harus menunjukkan kebenaran dari 2 implikasi (⇒) dan(⇐).

Untuk bukti (⇒).
Akan ditunjukkan A ⊂ B ⇒ A ∩ B^c = ∅.
Dari implikasi tersebut di atas, jelas dipunyai A ⊂ B.
Artinya … (silahkan dimaknai).
Akan ditunjukkan A ∩ B^c = ∅.

Perhatikan bahwa pernyataan di atas merupakan kesamaan dari dua himpunan yaitu A ∩ B^c dan ∅. Dan untuk menunjukkan kesamaan dua himpunan yang harus dilakukan adalah menunjukkan:

i) A ∩ B^c ⊂ ∅, dan
ii) ∅ ⊂ A ∩ B^c

Jelas ii) berlaku untuk sembarang himpunan.

Tinggal menunjukkan i) berlaku.
Untuk menunjukkan A ∩ B^c ⊂ ∅, cukup ditunjukkan bahwa sembarang anggota A ∩ Bc merupakan anggota ∅.

Langkah yang harus diambil adalah:
Ambil sembarang x anggota A ∩ B^c.
Maka x … (silahkan dimaknai).
Karena A ⊂ B, maka … (silahkan dimaknai).
Diperoleh x ∈ ∅.
Karena x sembarang anggota himpunan A ∩ B^c , maka berlaku

∀ x, x ∈ A ∩ B^c ⇒ x ∈ ∅

Jadi A ∩ B^c ⊂ ∅.

Karena ii) dan i) berlaku maka disimpulkan bahwa A ⊂ B ⇒ A ∩ B^c = ∅.

Untuk bukti (⇐) dan bukti keseluruhan untuk nomor 2, dipersilahkan salah satu mahasiswa
untuk memaparkan di depan kelas.

Atau jika Saudara kesulitan mengakses posting ini Silahkan klik disini untuk download file PDF-nya.

Selamat mencoba.