Belajar Sepanjang Hayat

Congruency of Two Triangle

2012-01-31T07:12:00.000-08:00

We shall say that two figures in the plane are similar whenever one is congruent to a dilate of the other. Therefore the two quadrilaterals are similar, since one is just an enlargement of the other. Any two circles are similar, if the two circles have the same radius. We simply take dilation by 1 to satisfy the definition. For the moment, we will study similar triangles, as illustrated below.

Figure 3.1 Dilationof a triangle

We can easily generate similar triangles by dilating a triangle with respect to one of its vertices or with respect to a point 0 not a vertex like shown below.

Figure 3.2 Processof dilating a triangle

Let T be a triangle whose sides have lengths a, b, c respectively. If we dilate T by a factor of r, we obtain a triangle which we denote by rT. The lengths of its sides will be ra, rb, rc, as we saw in the preceding section. Note that r can be any positive number. For instance in Figure below we have drawn triangles T, T, and 2T.

Figure 3.3 Sampleof dilating process of a triangle

Denote by T' the dilation of T by r. Let a', b', c' be the lengths of the corresponding sides. Then we have

a' =ra, b' = rb, c' = rc.

Therefore the ratios of the corresponding sides are all equal, that is:

We have seen that if two triangles are similar, then the ratios of the lengths of corresponding sides are equal to a constant r. We now prove the converse.

Definition.
Two triangles which it’s all corresponding side have same length are similar and congruent.

Note:
If both of the triangles have same length side, then it is denoted by SSS.
Notation for congruent is
Another ways to explain the congruency will be given soon.

Theorem 1.1.
Let T, T' be triangles. Let a, b, c be the lengths of the sides of T, and let a', b', c' be the lengths of the sides of T'. If there exists a positive number r such that

a' = ra, b' = rb, c' = rc,

then the triangles are similar.

Proof.
The dilation by of T' transforms T' into a triangle T’’ whose sides have lengths a, b, c, because

Therefore T, T’’ have corresponding sides of the same length. By condition SSS we conclude that T and T’’ are congruent. Therefore T is congruent to a dilation of T', and triangles T and T' are similar.

Theorem 1.2.
If two triangles are similar, then their corresponding angles have the same measure.

Theorem 1.3.
If two triangles have corresponding angles having the same measure, then the triangles are similar.

Proof.
Let T, T' be the triangles. Let A, B, C be the angles of T and let A', B', C' be the corresponding angles of T'. Let a, b, c and a', b', c' be the lengths of corresponding sides. Let

r = a'/a

be the ratio of the lengths of one pair of corresponding sides. Then a' = ra. Dilation by r transforms T into a triangle T" whose sides have lengths

a" = ra, b" = rb, c" = rc

respectively. The triangles T' and T" have one corresponding side having the same length, namely

a" = a' = ra.

The situation is shown below.

Figure 3.4 Conditionof theorem 3.6 and 3.7

We have seen in the previous theorem that dilation preserves the measures of angles. Hence the angles adjacent to this side in T' and T" have the same measure, that is:

m(ÐB') = m(ÐB") and m(ÐC') = m(ÐC").

It follows from the ASA property that T', T" are congruent. Hence T' is congruent to a dilation of T, and hence T' is similar to T, as was to be shown.

Theorem 1.4.

Two triangle are congruent if
a. there is similar side
b. angle in that side and angle which is opposite to the side is similar
then we called it congruent by SAA.

Theorem 1.5.

Two triangles are congruent if both of triangles are right angle triangle and one leg and also its hypotenuse is same length.

We let the proof as exercises for the reader.

Soal Induksi Matematika (2)

2012-01-01T08:13:00.000-08:00

Assalamu'alaikum wr.wb. Kembali hari ini disajikan satu contoh soal induksi matematika. Sedangkan penjelasan umum mengenai induksi matematika telah tersaji disini.

Diberikan P(n) ≡ 5²ⁿ - 1 . Tunjukkan P(n) habis dibagi 8, untuk semua n ∈ N.

Penyelesaian:

Tulis:

N : himpunan bilangan asli (Natural).

Diberikan P(n) ≡ 5²ⁿ - 1.

Ditunjukkan P(1) benar.

Jelas P(1) ≡ 5^2.1 - 1 = 5² - 1 = 25 - 1 = 24

Jelas 24 habis dibagi 8.

Jadi P(1) benar. ... (1*)

Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 8 maka P(k + 1) habis di bagi 8. ... (#)

Dipunyai P(k) benar.

Jelas P(k) ≡ 5^2k - 1 = 8m, untuk suatu m ∈ N. ... (2*)

Jelas P(k + 1) ≡ 5^2(k+1) - 1

= 5^2k+2 - 1

= 5^2k . 25 - 1

= [(5^2k - 1).25] + 24 [langkah ini merupakan kunci dari pembuktian]

= [8m.25] + 8.3 [langkah ini sah karena berdasarkan (2*), 5^2k - 1 = 8m]
= 8 . (25m + 3)
= 8p, untuk suatu p = 25m + 3, m, p ∈ N.

Diperoleh P(k + 1) = 8p, untuk suatu p ∈ N.

Jadi P(k + 1) habis dibagi 8. ... (3*)

Dari (1*) dan (3*) disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua n ∈ N.

Jadi P(N) benar.

Contoh Soal Induksi Matematika

2012-01-01T07:57:00.000-08:00

Assalamu'alaikum wr.wb. Kembali hari ini disajikan satu contoh soal induksi matematika. Sedangkan penjelasan umum mengenai induksi matematika telah tersaji disini.

Diberikan P(n) ≡ n³ + 5n. Tunjukkan P(n) habis dibagi 6, untuk semua n ∈ N.

Penyelesaian:

Tulis:
N : himpunan bilangan asli (Natural).

Diberikan P(n) ≡ n³ + 5n.

Ditunjukkan P(1) benar.
Jelas P(1) ≡ 1³ + 5.1 = 1 + 5 = 6.
Jelas 6 habis dibagi 6.
Jadi P(1) benar. ... (1*)

Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 6 maka P(k + 1) habis di bagi 6. ... (#)

Untuk membuktikan implikasi (#), dibutuhkan lemma (*) berikut:
Pada himpunan bilangan asli berlaku, hasil kali dua bilangan asli berurutan adalah genap, atau dapat ditulis: jika m ∈ N maka berlaku (m).(m + 1) = 2n, untuk suatu n ∈ N.

Dipunyai P(k) benar.
Jelas P(k) ≡ k³ + 5k = 6m, untuk suatu m ∈ N. ... (2*)
Jelas P(k + 1) ≡ (k + 1)³ + 5(k + 1)
= k³ + 3k² + 3k + 1 + 5k + 5
= k³ + 5k + 3k² + 3k + 6
= 6m + 3(k)(k + 1) + 6 [sesuai dengan (2*), k³ + 5k = 6m, untuk suatu m ∈ N]
= 6m + 3.2n + 6
= 6m + 6n + 6 [sesuai dengan lemma (*) di atas]
= 6.(m + n + 1)
= 6p, untuk suatu p ∈ N.

Diperoleh P(k + 1) = 6p, untuk suatu p ∈ N.
Jadi P(k + 1) habis dibagi 6. ... (3*)

Dari (1*) dan (3*) disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.

Mathematical Induction (Induksi Matematika)

2011-12-30T16:49:00.000-08:00

Induksi matematika digunakan untuk membuktikan teorema atau definisi yang berlaku untuk semua n anggota bilangan asli. Sebagai contoh, Buktikan: 2n ≤ 2^k, untuk k ∈ N. Jelas tidak mungkin kita akan membuktikan satu persatu dengan mengambil nilai n anggota bilangan asli. Prinsip induksi matematika manjadi satu alat pembuktian yang handal.

Principal of Mathematics Induction.
Let n₀ ∈ N and let P(n) be a statement for each natural number n ≥ n_0.
Suppose that:
(1) The statement P(n₀) is true.
(2) For all k ≥ n₀, the truth of P(k) implies the truth of P(k + 1).
Then P(n) is true for all n ≥ n₀.

Catatan:
n₀ adalah suku terkecil dari bilangan asli yang memenuhi syarat untuk P(n).

Jadi, jika n₀ yang memenuhi syarat adalah 1, maka induksi matematika dapat dituliskan sebagai berikut:

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang berlaku untuk suatu n anggota bilangan Asli.
Jika kondisi berikut berlaku,
(1) P(1) benar, dan
(2) Jika p(k) benar, maka P(k+1) benar,
maka P(n) benar untuk semua anggota bilangan asli, dan dapat ditulis dengan P(N) benar.

Contoh Aplikasi Induksi Matematika.

Contoh [1].
Buktikan: 2n ≤ 2^k, untuk k ∈ N.
Bukti:
Dibuktikan: P(1) benar.Jelas P(1) ≡ 2.1 ≤ 2¹ ≡ 2 ≤ 2.
Jadi P(1) benar. ... (1*)

Dibuktikan: Jika P(k) benar maka P(k+1) benar.
Dipunyai P(k) benar.
Jelas P(k) ≡ 2k ≤ 2^k.
Jelas:
2k ≤ 2^k
≡ 2k + 2 ≤ 2^k + 2
≡ 2k + 2 ≤ 2^k . 2
≡ 2(k+1) ≤ 2^(k+1).
Jadi P(k+1) benar. ... (2*)

Dari (1*) dan (2*) dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.

[Contoh 2].
Diberikan:

Tentukan nilai p dan buktikan kebenarannya!

Penyelesaian:
Dicari nilai p terlebih dahulu.
Jelas:

Jadi nilai p adalah

Dibuktikan bahwa:

Tulis:

Jelas

Jadi P(1) benar. ... (3*)

Dibuktikan: Jika P(k) benar maka P(k + 1) benar.

Dipunyai

Ditunjukkan P(k + 1) juga benar.

Jelas

Jadi P(k + 1) benar. ... (4*)

Dari (3*) dan (4*) dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.

---

Demikian tulisan singkat mengenai induksi matematika dan beberapa contoh aplikasinya. Jika ada pertanyaan, silahkan tuliskan dalam komentar. Pertanyaan bisa langkah-per-langkah atau seluruh kontent perkuliahan. Terima Kasih, selamat belajar, salam sukses.

Wassalamu'alaikum.

A Paralellogram Characteristic Problem

2011-12-29T18:12:00.001-08:00

It is known a 4-gon ABCD. The midpoints of AB, CD, BD and AC are P, Q, R, S. Prove that PQ and RS intersects at mid points.

Answer.
The condition above can be drawn below!

Connect PQRS such that it is drawn a smaller 4-gon.

Look at triangle ABD and PBR!
Obvious BP:BA = BR:BD. So that we can conclude that triangle BPR similar to triangle BAD. Thus, we can conclude that PR // AD ……… (1*)

Look at triangle CAD and CSQ!
Obvious CS:CA = CQ:CD. So that we can conclude that triangle CSQ similar to triangle CAD. Thus, we can conclude that QS // AD ……… (2*)

Because PR // AD and QS // AD, then we conclude that PR // QS ……… (3*)

Look at triangle ABC and APS!
Obvious AP:AB = AS:AC. So that we can conclude that triangle APS similar to triangle ABC. Thus, we can conclude that PS // BC ……… (4*)

Look at triangle DRQ and DBC!
Obvious DR:DB = DQ:DC. So that we can conclude that triangle DRQ similar to triangle DBC. Thus, we can conclude that QR // BC ……… (5*)

Because PS // BC and QR // BC, then we conclude that PS // QR ……… (6*)

Because PR // QS and PS // QR, we can conclude that PQRS is a parallelogram by the definition. And its characteristics, by theorem 1.6, we can see that PQ and RS intersects at midpoint of it.

Parallelogram and some of its theorems

2011-12-27T17:28:00.000-08:00

Let A, B, C, D be four points which determine the four-sided figure consisting of the four sides AB, BC, CD, and AD. Any four-sided figure in the plane is called a quadrilateral. If the opposite sides of the quadrilateral are parallel, that is, if AB is parallel to CD and AD is parallel to BC, and then the figure is called a parallelogram:

Figure 1. A parallelogram

Note:
Please write,
m(ABC) eq the size of angle ABC, and
d(P, Q) eq the length of segmen PQ.

1. Parallelogram

Definition.

Parallelogram is a quadrilateral which its corresponding sides are parallel.

Theorem.

1.1. In a parallelogram, the size of opposite angles is same.

Proof.

Look at the figure below.

Figure 2. A parallelogram with its some parts

It is given a parallelogram ABCD.

Prove that m(A) = m(C) and m(B) = m(D).

Draw diagonal AC.

Obvious

m(A1) = m(C1) (because of alternate interior angles) and

m(A2) = m(C2) (because of alternate interior angles).

We get m(A1) + m(A2) = m(C1) + m(C2)

eq m(A) = m(C).

By the similar step, we get m(B) = m(D).

So the size of opposite angles in a parallelogram is same.

Theorem.

1.2. In a parallelogram, the length of opposite sides is same.

Proof.

Look at the figure 2.

It is given a parallelogram ABCD.

Prove that AB = CD and BC = DA.

Draw diagonal AC.

Look at DABC and DACD

Obvious

m(A1) = m(C1) (because of alternate interior angles),

m(A2) = m(C2) (because of alternate interior angles), and

AC = AC (because of coincide).

We get triangle ABC kongruent with triangle ACD (because of ASA)

One of the consequence is AB = CD and BC = AD.

Theorem.

1.3. In a parallelogram, both of its diagonals are intersecting in the midpoint of its diagonals.

Proof.

Look at figure below.

Figure 3. A parallelogram with its some parts

It is given a parallelogram ABCD.

Prove that AT = TC and BT = TD.

Look at triangle ATD and triangle BTC.

Obvious

m(D2) = m(B2) (because of alternate interior angles),

m(A2) = m(C2) (because of alternate interior angles), and

AD = BC (why?).

We get triangle ATD congruent with triangle BTC (because of ASA)

One of the consequence is AT = TC and BT = TD.

So that T is midpoint of AC and T is also midpoint of BD.

Theorem.

1.4. In a quadrilateral, if the size of opposite angles is same, then the quadrilateral given is a parallelogram.

Proof.

Look at the figure 1.

It is given a quadrilateral ABCD and

m(A) = m(C) also m(B) = m(D).

Prove that ABCD is a parallelogram.

Obvious the sum of all angles in 4-gon is (4 – 2).180^o = 360^o

Obvious
m(A) + m(B) + mÐC + mÐD = 360^o

eq m(A) + m(B) + m(A) + m(B) = 360^o

eq 2. m(A) + 2.m(B) = 360^o

eq m(A) + m(B) = 180^o.

We get:

1. Because of m(A) + m(B) = 180^o then AD // BC.

2. Because of m(A) + m(B) = 180^o and m(B) = m(D) then m(A) + m(D) = 180^o.

3. Because of m(A) + m(D) = 180^o then AB // CD.

Because AD // BC and AB // CD, we conclude that quadrilateral ABCD is a parallelogram.

Theorems.

1.5. In a quadrilateral, if the length of opposite sides is same, then the quadrilateral given is a parallelogram.

1.6. In a quadrilateral, if both of diagonals are intersecting one another at the midpoint, then the quadrilateral given is a parallelogram.

1.7. In a quadrilateral, if there are two pairs parallel sides, then quadrilateral given is a parallelogram.

Proof.

We leave the proof for 1.5, 1.6, and 1.7 as exercises.

Kekongruenan untuk Membuktikan Trapesium Sama Kaki

2011-12-25T21:44:00.000-08:00

Diberikan lingkaran dengan pusat Odengan jari-jari r. Pada lingkaran tersebut dibangun 2 buah tali busur g dan hsedemikian sehingga g sejajar h. Jika perpotongan g dan h dengan lingkaranterletak di titik PQRS, buktikan bahwa PQRS adalah trapesium sama kaki.

Perhatikan gambar sebagaimanakondisi tersebut di atas.

Bukti:

Tulis

Besar sudut ABC adalah m(ABC), dan

Panjang garis AB adalah d(AB).

Hubungkan pusat lingkaran dengansemua titik P, Q, R, S.

(Catatan: Untuk membuktikan bahwaPQRS trapesium sama kaki, cukup ditunjukkan bahwa segitiga ROP kongruen dengansegitiga QOS)

Jelas RO = PO = QO = OS = r.

(Catatan: Jadi untuk menunjukkan ROPkongruen dengan QOS cukup ditunjukkan bahwa besar sudut QOS = besar sudut ROP)

Bangun diameter lingkaran tegaklurus dengan g.

Jelas segitiga PQO sama kaki mengakibatkanTO adalah garis tinggi segitiga PQO. Akibatnya segitiga PTO kongruen dengansegitiga QTO (mengapa?).

Karena PTO kongruen dengan QTO,berakibat m(POT) = m(QOT).

---

Dengan cara yang sama dapatditunjukkan bahwa m(UOS) = m(UOR).

---

Jelas m(UOS) + m(SOQ) + m(QOT) =m(UOR) + m(ROP) + m(POT) = 180.

Berakibat m(SOQ) = m(ROP).

Karena (i) m(SOQ) = m(ROP); (ii)d(SO) = d(RO); dan (iii) d(QO) = d(PO), maka segitiga SOQ kongruen dengansegitiga ROP karena alasan SAS (Side – Angel – Side).

Karena segitiga SOQ kongruen dengansegitiga ROP, berakibat d(PR) = d(QS), sehingga PQRS adalah trapesium samakaki.

[CATATAN: BAGAIMANA JIKA TALI BUSURYANG DIPILIH ADALAH SEBAGAI BERIKUT!]

Drawing a line by a point outside of a line (not linear) and perpendicular to the given line

2011-10-12T01:40:00.000-07:00

A little bit different from the construction one, in construction two we the segment first. In construction one, the segment AB is given but in second construction we build the segment.

Question.
Draw a line which is perpendicular to AB and pass through the point P.

Answer.

The principal concept to solve the problem is making perpendicular bisector through point P. The problem now is, which vertex on line that we will choose as center of the arc. From point P, make an arc with P as the center. Choose radius as yours such that the arc intersect the line in two points, namely K and L. See figure 1.16.

As the center, make an arc from K and L, which has radius more than a half of ½KL½. The intersection between arc K and arc L is given name Q. Now, we have explain that the points like construction 1 are K and L, and we build that.

Make a line that is connecting P and Q and we get a line PQ that is perpendicular to line AB through point P outside the line of AB.

Memahami Peranan Matematika Dalam Pengembangan Ekonomi

2011-09-22T18:01:00.000-07:00

Penggunaan Matematika dalam Ekonomi. Fakta, hakekatnya merupakan besaran-besaran, yang diterjemahkan berupa persamaan, bentuk-bentuk fungsional, atau persamaan differensial. 2 pendekatan dalam penyelesaian masalah ekonomi: analisis matematis dan analisis non matematis. Contoh kasus analisis matematis, dalam memulai kegiatan forex trading pada hari X, saya biasa menggunakan analisis regresi sederhana dengan menggunakan data terbaru pada malam hari sebelumnya. Jadi masalah ekonomi dalam hal pergerakan valuta asing dapat pula dianalisis dengan analisis regresi sederhana. Sedangkan team saya melakukan analisis non matematis dengan melihat pergerakan kebijakan pemerintah dan Bank Indonesia dalam menghadapi masalah moneter.

Translasi penyelesaian masalah ekonomi dengan analisis matematis

Mengapa perlu Matematika dalam Ekonomi?
1. Bahasan matematika lebih ringkas dan tepat
2. Kaya akan hukum-hukum, teorema, sehingga memudahkan pemakaian
3. Dapat merumuskan asumsi dengan jelas sehingga terhindar bias
4. Memungkinkan menggunakan sebanyak mungkin variabel

Masalah Fundamental dalam Ekonomi?
Masalah ekonomi selalu berkembang seiring dengan perkembangan jaman . Mengakibatkan perubahan gaya hidup dan nilai suatu barang. Contohnya sepeda, televisi, radio, handphone , dsb.
Fenomena tersebut secara matematika dirumuskan sbb:

Dengan
Q: qualitas hidup
R: sumber daya alam yang tersedia
C: kebutuhan

Sebagai Akibatnya
Kebutuhan memunculkan nilai barang.
1. Barang ekonomi (economics goods), jika barang tersebut memiliki harga.
2. Barang bebas (free goods), jika barang tersebut tidak memiliki nilai harga.
Jadi masalah fundamental ekonomi berkait pada 3 (hal) yaitu, WHAT, HOW, dan FOR WHOM.

Contoh Masalah:
Masalah Ketahanan Pangan Nasional
What: jenis komoditas apa? Padi yang mana?
How: bagaimana pengembangannya? Siapa dan bagaimana menghasil-
Kannya? Penggunaan faktor-faktor produksi yang tersedia.
For Whom: Siapa yang akan memanfaatkannya.

Uji Kompetensi

Temukan satu masalah, pikirkan masalah fundamental ekonomi terkait masalah Anda!
Untuk memecahkan fenomena ekonomi dengan menggunakan pendekatan matematika diperlukan 2 translasi. Jelaskan!
Ada 4 keuntungan yang diperoleh bila fenomena ekonomi dipecahkan dengan pendekatan matematika. Jelaskan!
Batas klasifikasi kebutuhan sekunder dan tersier bagi seseorang relatif tipis. Jelaskan makna pernyataan ini, mohon disertai dengan contoh!
Jelaskan masalah fundamental dalam ekonomi!
Air yang dihasilkan PDAM merupakan barang ekonomi tetapi di beberapa daerah tertentu air merupakan barang bebas. Jelaskan! Berikan jenis barang yang lain yang memiliki karakteristik seperti air!

Materi Ajar Pengantar Dasar Matematika

2011-09-20T23:19:00.000-07:00

Berikut materi ajar/ media pembelajaran mata kuliah Pengantar Dasar Matematika, oleh pengampu Ardhi Prabowo.

Slope of line bisecting another 2 lines

2011-04-26T20:46:00.000-07:00

Pertanyaannya sederhana, jawabannya pun sesederhana pertanyaannya. (Kalau sudah ketemu ide kreatifnya saja, ahaha)

Find the gradient of line bisecting the angle from k₁ with gradient 7, to k₂, with gradient 1!

Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut ini.

Jelas k₁ dan k₂ seharusnya mudah untuk dilukis. Prinsipnya sesungguhnya mudah saja ketika membagi sudut dari k₁ dan k₂ itu, yaitu dengan membuat segitiga samakaki.

Perhatikan gambar berikut!

Berapakah panjang OA? Jelas sekali adalah akar kuadrat dari 50. Nah, sekarang buatlah ruas garis yang memiliki panjang akar kuadrat 50 di garis k₂!

Jelas 50 = 25 + 25 = 5² + 5². Jadi jika kita letakkan 1 titik B di koordinat (5,5) maka jelas panjang OB adalah akar kuadrat dari 50. (Sampai disini masih bingungkah?)

Perhatikan lagi gambar berikut!

Hubungkanlah A dan B, kemudian cari koordinat titik C sebagai titik tengah AB. Karena segitiga AOB adalah sama kaki, dan C adalah titik tengah alas segitiga sama kaki AOB, maka berdasarkan sifat segitiga sama kaki, besar sudut AOC = besar sudut BOC. Dengan kata lain, garis OC bisecting the angle of AOB.

Mestinya dengan cara sederhana, Saudara sudah dapat menemukan gradien garis OC.
Yak, jelas bahwa OC terletak di koordinat (3,6) mengapa?
Jadi gradien OC mestinya adalah 2.

Pertanyaan saya berikutnya adalah, temukan garis lain yang juga membagi sudut yang terbentuk dari perpotongan k₁ dan k₂ menjadi 2 sama besar!

Selamat belajar!

Daya Beda dan Tingkat Kesukaran Soal Multiple Choice

2011-03-20T23:52:00.000-07:00

Daya Pembeda Soal

Daya pembeda digunakan untuk menentukan soal sungguh dapat membedakan siswa yang termasuk kelompok pandai (upper group) dan siswa yang termasuk kelompok kurang (lower group).

Rumus daya pembeda adalah

dengan
D : daya pembeda item soal;
B_A : banyaknya peserta tes kelompok atas yang menjawab benar butir item yang bersangkutan;
B_B : banyaknya peserta tes kelompok bawah yang menjawab benar butir item yang bersangkutan;
J : banyaknya peserta tes.

Kriteria tingkat daya pembeda item soal adalah sebagai berikut.

Daya Pembeda Item	Keterangan
0 – 0,20	item soal memiliki daya pembeda lemah
0,21 – 0,40	item soal memiliki daya pembeda sedang
0,41 – 0,70	item soal memiliki daya pembeda baik
0,71 – 1,00	item soal memiliki daya pembeda sangat kuat
Bertanda negatif	item soal memiliki daya pembeda sangat jelek

Sumber: Arikunto, 2003:213, 218

Taraf kesukaran

Uji tingkat kesukaran suatu soal bertujuan mengetahui tingkat kesulitan soal yang digunakan untuk mengukur hasil pembelajaran. Instrumen perlu diuji tingkat kesukaran dengan menggunakan rumus:

Keterangan:
P : angka indeks kesukaran item;
B : banyaknya peserta tes yang menjawab dengan benar terhadap butir item yang bersangkutan;
JS : jumlah peserta tes yang mengikuti tes.

Kriteria tingkat kesukaran suatu item soal dapat dilihat pada Tabel berikut:

Indeks Kesukaran	Keterangan
Kurang dari 0,30	item soal berkategori sukar
0,30 – 0,70	item soal berkategori cukup
Lebih dari 0,70	item soal berkategori mudah

Sumber: Arikunto (2003:210)

Pengukuran TIngkat Kesukaran Soal Uraian

2011-03-20T23:23:00.000-07:00

Assalamu'alaikum wr.wb.

Ibu, Bapak Guru, Peneliti Pendidikan, dan Sahabat blogger. Penulisan artikel ini berpijak kepada keprihatinan saya akan pengukuran tingkat kesukaran soal uraian yang terjadi selama ini. Biasanya, peneliti telah menjustifikasi suatu nilai tertentu yang menjadi pijakan akan keberhasilan sebuah soal. Dengan berpijak kepada nilai tersebut, peneliti kemudian melakukan justifikasi dengan menganggap benar sempurna jika skor yang diperoleh responden lebih dari nilai pijakan, dan menganggap gagal keseluruhan jika nilai responden kurang dari nilai pijakan. Contoh sederhana berikut: Saya akan menganalisis soal uraian, dan saya telah menetapkan nilai ketuntasan satu soal adalah 63%, artinya jika siswa telah memperoleh skor 70% dari bobot nilai butir, maka siswa dianggap mengerjakan soal tersebut dengan benar 100%. Andaikan siswa mengerjakan 10 butir soal, dan kemudian hanya memperoleh skor 70% di 4 nomer, sedangkan 6 nomor lainnya hanya memperoleh skor 60%, maka siswa tersebut dianggap tidak memenuhi ketuntasan. HItung saja, (0,7 x 4) + (0,6 x 6) = 0,64. Artinya lebih dari nilai ketuntasan sebesar 63. Terjadi kontradiksi bukan? Penjelasan lebih lanjut silahkan saja lanjut membaca.

Referensi:

Aiken, Lewis R. (1994). Psychological Testing and Assessment,(Eight Edition). Boston: Allyn and Bacon.
Nitko, Anthony J. (1996). Educational Assessment of Students, Second Edition. Ohio: Merrill an imprint of Prentice Hall Englewood Cliffs.
Nunally, Jum C. (1981). Psychometric Theory, Second Edition. New Delhi: Tata McGraw Hill Publishing Company Limited.
Haladyna, Thomas M. (1994). Developing and Validating Multiple-Choice Test Items. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.

Artikel Tingkat Kesukaran
(Jangan jadikan blog ini sebagai referensi, saya akan mencarikan referensi untuk anda)

Tingkat kesukaran soal adalah peluang untuk menjawab benar suatu soal pada tingkat kemampuan tertentu yang biasanya dinyatakan dalam bentuk indeks. Indeks tingkat kesukaran ini pada umumnya dinyatakan dalam bentuk proporsi yang besarnya berkisar 0,00 - 1,00 (Aiken (1994: 66). Semakin besar indeks tingkat kesukaran yang diperoleh dari hasil hitungan, berarti semakin mudah soal itu. Suatu soal memiliki TK= 0,00 artinya bahwa tidak ada siswa yang menjawab benar dan bila memiliki TK= 1,00 artinya bahwa siswa menjawab benar. Perhitungan indeks tingkat kesukaran ini dilakukan untuk setiap nomor soal. Pada prinsipnya, skor rata-rata yang diperoleh peserta didik pada butir soal yang bersangkutan dinamakan tingkat kesukaran butir soal itu. Rumus ini dipergunakan untuk soal obyektif. Rumusnya adalah seperti berikut ini (Nitko, 1996: 310).

(catatan pakardhi: Rumus di atas biasa digunakan untuk memeriksa tingkat kesukaran soal multiple choice)

Fungsi tingkat kesukaran butir soal biasanya dikaitkan dengan tujuan tes. Misalnya untuk keperluan ujian semester digunakan butir soal yang memiliki tingkat kesukaran sedang, untuk keperluan seleksi digunakan butir soal yang memiliki tingkat kesukaran tinggi/sukar, dan untuk keperluan diagnostik biasanya digunakan butir soal yang memiliki tingkat kesukaran rendah/mudah.
Untuk mengetahui tingkat kesukaran soal bentuk uraian digunakan rumus berikut ini.

Kemudian dilanjutkan dengan proses berikut:

Hasil perhitungan dengan menggunakan rumus di atas menggambarkan tingkat kesukaran soal itu. Klasifikasi tingkat kesukaran soal dapat dicontohkan seperti berikut ini.
0,00 - 0,30 soal tergolong sukar
0,31 - 0,70 soal tergolong sedang
0,71 - 1,00 soal tergolong mudah
Tingkat kesukaran butir soal dapat mempengaruhi bentuk distribusi total skor tes. Untuk tes yang sangat sukar (TK<0,25)>0,80) distribusinya berbentuk negatif skewed.

Tingkat kesukaran butir soal memiliki 2 kegunaan, yaitu kegunaan bagi guru dan kegunaan bagi pengujian dan pengajaran (Nitko, 1996: 310-313). Kegunaannya bagi guru adalah: (1) sebagai pengenalan konsep terhadap pembelajaran ulang dan memberi masukan kepada siswa tentang hasil belajar mereka, (2) memperoleh informasi tentang penekanan kurikulum atau mencurigai terhadap butir soal yang bias. Adapun kegunaannya bagi pengujian dan pengajaran adalah: (a) pengenalan konsep yang diperlukan untuk diajarkan ulang, (b) tanda-tanda terhadap kelebihan dan kelemahan pada kurikulum sekolah, (c) memberi masukan kepada siswa, (d) tanda-tanda kemungkinan adanya butir soal yang bias, (e) merakit tes yang memiliki ketepatan data soal.
Di samping kedua kegunaan di atas, dalam konstruksi tes, tingkat kesukaran butir soal sangat penting karena tingkat kesukaran butir dapat: (1) mempengaruhi karakteristik distribusi skor (mempengaruhi bentuk dan penyebaran skor tes atau jumlah soal dan korelasi antarsoal), (2) berhubungan dengan reliabilitas. Menurut koefisien alfa clan KR-20, semakin tinggi korelasi antarsoal, semakin tinggi reliabilitas (Nunnally, 1981: 270-271).

Tingkat kesukaran butir soal juga dapat digunakan untuk mempredikst alat ukur itu sendiri (soal) dan kemampuan peserta didik dalam memahami materi yang diajarkan guru. Misalnya satu butir soal termasuk kategori mudah, maka prediksi terhadap informasi ini adalah seperti berikut.

Pengecoh butir soal itu tidak berfungsi.
Sebagian besar siswa menjawab benar butir soal itu; artinya bahwa sebagian besar siswa telah memahami materi yang ditanyakan.

Bila suatu butir soal termasuk kategori sukar, maka prediksi terhadap informasi ini adalah seperti berikut.

Butir soal itu "mungkin" salah kunci jawaban.
Butir soal itu mempunyai 2 atau lebih jawaban yang benar.
Materi yang ditanyakan belum diajarkan atau belum tuntas pembelajarannya, sehingga kompetensi minimum yang harus dikuasai siswa belum tercapai.
Materi yang diukur tidak cocok ditanyakan dengan menggunakan bentuk soal yang diberikan (misalnya meringkas cerita atau mengarang ditanyakan dalam bentuk pilihan ganda).
Pernyataan atau kalimat soal terlalu kompleks dan panjang.

Namun, analisis secara klasik ini memang memiliki keterbatasan, yaitu bahwa tingkat kesukaran sangat sulit untuk mengestimasi secara tepat karena estimasi tingkat kesukaran dibiaskan oleh sampel (Haladyna, 1994: 145). Jika sampel berkemampuan tinggi, maka soal akan sangat mudah (TK= >0,90). Jika sampel berkemampuan rendah, maka soal akan sangat sulit (TK = < 0,40). Oleh karena itu memang merupakan kelebihan analisis secara IRT, karena 1RT dapat mengestimasi tingkat kesukaran soal tanpa menentukan siapa peserta tesnya (invariance). Dalam IRT, komposisi sampel dapat mengestimasi parameter dan tingkat kesukaran soal tanpa bias.

Pembuktian Teorema Pythagoras

2011-02-24T19:13:00.000-08:00

Assalamu’alaikum wr.wb.
Posting kali ini saya hubungkan antara pemahaman mengenai kesebangunan dan pembuktian teorema pythagoras. Hal ini menjadi penting karena ternyata tidka semua guru dapat membuktikan teorema pythagoras. Sebagian besar hanya bisa mengaplikasikan saja. Berikut pertanyaannya. Perhatikan gambar berikut!

Buktikan teorema pythagoras dengan membuktikan bahwa luas daerah ABED = luas daerah BCGF + luas daerah ACHI.

Penyelesaian.

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut digunakanlah garis bantu yang dibentuk dengan cara menarik garis dari titik C tegak lurus AB sampai memotong DE di K. Secara praktis hal tersebut memberi batas bahwa luas daerah BCGF nanti sama dengan luas daerah BJKE demikian pula dengan luas daerah ACHI sama dengan luas daerah ADKJ.
Berikutnya adalah bangun garis bantu EJ dan EC sebagaimana tampak pada gambar di bawah ini.
Jelas bahwa luas daerah segitiga EBJ sama dengan luas daerah EBC. (Mengapa? Pelajari lebih lanjut Luas Daerah Segitiga). Jelas bahwa segitiga EBJ dan segitiga EBC memiliki alas yang sama, yaitu EB (Nah loh, alas tidak selalu berada di bawah kan?) dan tinggi yang sama pula, yaitu BJ (Ingat kembali garis tinggi segitiga merupakan garis yang tegak lurus dengan alas. Dan jelas EB tegak lurus BJ, karena ABED persegi). Sehingga luas daerah segitiga EBJ sama dengan luas daerah EBC.
Berikutnya bangun garis batu FC dan FA, sebagaimana tampak di bawah ini.
Dengan cara yang sama, diketahui bahwa luas daerah segitiga FBC sama dengan luas daerah FBA. (Mengapa?)
Perhatikan segitiga FBA dan segitiga EBC! Apakah kongruen? Perhatikan bahwa panjang AB = panjang EB dan panjang BF = panjang BC. Demikian pula besar sudut FBA = besar sudut EBC (Mengapa?). Sehingga segitiga FBA kongruen dengan segitiga EBC.
Akibatnya luas daerah EBJ sama dengan luas daerah FBC. Implikasinya adalah luas daerah persegi panjang EBJK sama dengan luas daerah persegi panjang BCGF.
Dengan demikian dapat digeneralisasikan bahwa luas daerah ADKJ sama dengan luas daerah ACHI. Sehingga berakibat luas daerah ABED = luas daerah EBJK + luas daerah AJKD ekivalen dengan luas daerah ABED = luas daerah BCGF + luas daerah ACHI.

Konsep Dasar Segitiga

2011-02-23T18:44:00.000-08:00

Assalamu'alaikum wr.wb. Ibu Bapak guru dan sahabat serta anak-anak yang berbahagia, sedikit saya ulas mengenai konsep dasar segitiga. Hal ini perlu saya sampaikan karena ternyata tidak semua orang memahami konsep dasar segit Perhatikan pertanyaan saya di bawah ini.

Pernahkan Ibu/Bapak dan anak-anak melihat segitiga?
Pernahkah Ibu/Bapak mengukur luas segitiga?

Jika salah satu atau kedua pertanyaan tersebut dijawab dengan PERNAH, maka terjadi salah pemahaman terhadap segitiga. Perhatikan gambar di bawah.

Jika diberikan tiga gambar seperti di atas, dengan gambar A diasumsikan dibuat dengan sedotan yang disambung-sambung, gambar B dibuat dengan karton, dna gambar C dibuat dengan kawat, namun salah satu kawatnya melengkung.

Pertanyaannya: Manakah dari gambar di atas yang merupakan interprestasi sebuah SEGITIGA?

Jika ada yang menjawab B atau A dan B maka perlu ada pemahaman lebih lanjut. Jawaban dari pertanyaan tersebut adalah gambar A. Jadi gambar A-lah yang merupakan interprestasi dari sebuah segitiga.

Dan, gambar B merupakan model dari sebuah DAERAH SEGITIGA. Sedangkan gambar C bukan segitiga dan juga bukan suatu daerah segitiga. Jadi jelaslah bahwa SEGITIGA TIDAK MEMILIKI LUAS. Yang memiliki luas adalah DAERAH SEGITIGA.

Demikian penjelasan singkat dari saya mengenai konsep dasar segitiga.

Contoh Silabus dan Deskripsi Mata Kuliah

2011-02-22T17:12:00.000-08:00

Assalamu'alaikum wr.wb. Setelah sekian lama tak update status, kembali saya sampaikan posting saya mengenai silabus dna deskripsi mata kuliah. Saya menulis ini karena banyak mahasiswa saya yang menginginkan file ini. Nah, kawan, saudara, sahabat, jika ingin mengunduh file deskripsi dan silabus mata kuliah statistika inferensial, silahkan klik unduh disamping atau jia menginginkan file unduhan lainnya silahkan datang ke halaman unduh. Selamat mengunduh.

Basic Theorems of Polygon

2010-10-19T04:45:00.000-07:00

Theorem!
4.2 In the n-gon, we can build (n – 3) diagonals from a vertex.

Proof!
Look at figure below.

Fig. 4.6. Condition of th. 4.2

Let. P₁, P₂ , … ,P_n be the vertices of the polygon as shown in the figure.
Take any vertex as the certain vertex, let it be P_x.

The segments

build diagonals. So that there are 2 vertices those could not be connected from a chosen vertex, that is P_x–1 , and P_x+1 which are not build diagonals.
Obvious P_x couldn’t make diagonal to itself.
Because of P_x is any vertex, we conclude that the condition is suitable for all vertices.
So we can only build (n – 3) diagonal from a vertex in a n-gon.

Theorem!
4.3 The sum of diagonal in a n-gon is

Proof!
From theorem 3.2 we get there are (n – 3) diagonal for every vertex in a n-gon.
Obvious
from P₁ there are (n – 3) diagonals,
from P₂ there are (n – 3) diagonals,
from P₃ there are (n – 3) diagonals,
…
from P_n–1 there are (n – 3) diagonals, and
from P_n there are (n – 3) diagonals.

Take any P_x vertex in n-gon given.
Obvious there are (n – 3) diagonal out from the vertex and also there are (n – 3) diagonal in from another vertices.
It means every vertex in a n-gon is being counted twice.

So that the sum of diagonal in a n-gon should be
These prove the theorem.

Theorem!
4.4 The sum of exterior angle of a n-gon is 360^o.

Proof!
We leave the proof as exercise.

Permasalahan UASBN Terkait Modus

2010-10-17T14:53:00.000-07:00

Assalamu’alaikum wr.wb.

Berbicara statistika itu kompleks. Bisa dari yang sangat mudah, sampai dengan yang susah. Yang yang sepele sampai yang sangat rumit. Contohnya yang saya temui beberapa hari ini. Ketika berbicara di depan para guru pemandu SD, LUAR BIASAAA…, antusias sekali mereka. Bahkan bahasan serupa MODUS-pun bisa sibuat sedemikian heboh. Mari kita ikuti.

Dalam Suharsimi (2006:34) dikatakan bahwa modus adalah NILAI YANG PALING SERING MUNCUL. Tapi sesungguhnya apa itu nilai? Saya langsung akan mengaplikasikan pada soal berikut ini.

*) Pada hari minggu ini, Andi membeli 4 batang pensil, 5 buah pulpen, 9 butir telur dan 6 bungkus mie instant. Tentukan modus dari barang yang dibeli Andi pada Minggu ini!

Pada bahasan Senin, 11 Oktober 2010, beberapa guru menyatakan, “Pertanyaan tersebut tidak dapat dijawab, karena tidak ada modusnya!”, namun ada pula yang menjawab, “Tentu bisa, itu jawabnya 9.”

Saya mencoba menengahi bahwa soal tersebut saya adopsi dari soal yang setara pada tahun sebelumnya yang berbunyi demikian,

**) “Dari 40 orang siswa kelas 6 di SD Makmur, 25 diantaranya berangkat ke sekolah dengan berjalan kaki, 15 siswa berangkat dengan cara bersepeda, dan sisanya berangkat ke sekolah dengan diantar. Apakah modus dari cara berangkat siswa kelas 6 SD Makmur ke sekolah?”

Dan pertanyaan tersebut ada jawabnya, yaitu dengan berjalan kaki. Tentu saja, pernyatan **) tersebut di atas dapat pula digambar diagram batangnya, sebagai berikut:

Yak, betul sekali, data yang dapat digambar diagram batangnya adalah data yang nilainya seragam. Pada pernyataan **) data yang dimiliki adalah data cara siswa berangkat ke sekolah. Data tersebut adalah berjalan kaki, bersepeda, dan diantar. Data yang demikian dinamakan data ordinal, artinya masing-masing unsur data tidak merupakan urutan. Dan nilai yang dimiliki data tersebut adalah kuantitas dari siswa yang melakukan hal tersebut di SD Makmur. Jadi nilai data berjalan kaki adalah 25, nilai data bersepeda adalah 15 dan seterusnya.

Jadi, saya simpulkan, setelah melalui diskusi dengan rekan sejawat di kampus, bahwa pertanyaan *) dapat diselesaikan, dan modusnya adalah Telur, yang dibeli sebanyak 9 butir. Mengapa bisa? Karena pada data ordinal yang difokuskan adalah kuantitas (di bahasa Jawa disebut dengan CACAH). Jadi perbedaan satuan butir, dan buah tidak perlu dipertanyakan. Berbeda kalau satuan tersebut kilogram dan buah, misal barang yang dibeli adalah mie instant dan beras, maka kedua barang tersebut JELAS TIDAK DAPAT DIBANDINGKAN. Diagram batang untuk pertanyaan *) adalah sebagai berikut.

Dengan demikian kesalahan telah diperbaiki, semoga dapat membantu.

Convexity and Angles of Polygon

2010-10-16T05:23:00.001-07:00

Polygons which look like those in the top row of Figure 4.5 we will call convex. Thus we define a polygon to be convex if it has the following property:

Given two points X and Y on the sides of the polygon, then the segment XY is wholly contained in the polygonal region surrounded by the polygon (including the polygon itself).

Observe how this condition fails in a polygon such as one chosen from the lower row in Figure 4.5 on Chapter Basic Idea of Polygon

4.6 Example polygon

You might want to go back to Figure 4.5 and verify that this condition does hold on each polygon in the top row.

Throughout this book we shall only be dealing with convex polygons, as they are generally more interesting. Consequently, to simplify our language, we shall always assume that a polygon is convex, and not say so explicitly every time.

In a polygon, let PQ and QM be two sides with common endpoint Q. Then the polygon lies within one of the two angles determined by the rays R_QP and R_QM. This angle is called one of the angles of the polygon. Observe that this angle has less than 180°, as illustrated:

4.7 Angles of polygon

Experiment 4.2.

Besides the number of sides, two characteristics of polygons are the lengths of its sides and the measures of its angles.
What do we call a quadrilateral which has four sides of the same length and which has four angles with the same measure?
Can you think of a quadrilateral which has four angles with equal measures but whose sides do not all have the same length? Draw a picture. What do we call such a quadrilateral?
Can you draw a quadrilateral which has four sides of equal length, but whose angles do not have the same measure?
What do we call a 3-gon which has equal length sides and equal measure angles?
With a ruler, draw an arbitrary looking convex quadrilateral. Measureeach of its four angles, and add these measures. Repeat with two or three other quadrilaterals.
Repeat the procedure given in Part 2 with a few pentagons, and then a few hexagons.
What can you conclude? Can you say what the sum of the measures of the angles of a 7-gon would be? How about a 13-gon?
For the rest of this experiment, we will develop a formula to answer these questions.

Consider a convex quadrilateral. A line segment between two opposite vertices is called a diagonal. We can decompose the quadrilateral ("break it down") into two triangles by drawing a diagonal, as shown:

4.8 A diagonal

Notice that the angles of the two triangles make up the angles of the polygon. What is the sum of the angles in each triangle? In the two triangles added together? And in the polygon?

Now look at a convex pentagon. We can decompose it into triangles, using the "diagonals" from a single vertex, as shown:

4.9 Diagonals

We see that in a 5-gon we get three such triangles. Again, the angles of the triangles make up the angles of the polygon when it is decomposed in this way. What is the sum of the measures of all the angles in the triangles? What is the sum of the measures of all the angles in the polygon?

Repeat this procedure with a hexagon to find the sum of the measures of its angle. Continue the process until you can state a formula which will give the sum of the measures of the angles of an n-gon in terms of n. If you have succeeded, you will have found the next theorem.

Theorem!
The sum of the angles of a polygon with n sides has

(n – 2).180°

Proof!
Let. P1, P2 , … ,Pn be the vertices of the polygon as shown in the figure. The segments

decompose the polygon into (n – 2) triangles. Since the sum of the angles of a triangle has 180o, it follows that the sum of the angles of the polygon has (n – 2).180°.

4.10 Condition of th. 4.1

That's it some basic properties of polygon. In next sub chapter, we will learn more about the properties of polygon.

Pembuktian Kesamaan Dua Himpunan (Tugas Kuliah)

2010-10-14T18:28:00.000-07:00

Kuliah pengantar dasar matematika, pada minggu ke 6 dan 7 perkuliahan, ditiadakan. Selanjutnya, diperislahkan kepada mahasiswa untuk dapat memahami permasalahan yang diberikan pada perkuliahan tersebut. Silahkan klik Continue reading.

Tugas Mahasiswa

1. Buktikan bahwa: A⊂B ⇔ A ∩ B^c = ∅
2. Buktikan bahwa: A⊂B^c ⇔ A ∩ B = ∅

Petunjuk:
1. Jelas pernyataan 1. Merupakan bentuk biimplikasi, sehingga untuk menunjukkan kebenaran dari biimplikasi, Saudara harus menunjukkan kebenaran dari 2 implikasi (⇒) dan(⇐).

Untuk bukti (⇒).
Akan ditunjukkan A ⊂ B ⇒ A ∩ B^c = ∅.
Dari implikasi tersebut di atas, jelas dipunyai A ⊂ B.
Artinya … (silahkan dimaknai).
Akan ditunjukkan A ∩ B^c = ∅.

Perhatikan bahwa pernyataan di atas merupakan kesamaan dari dua himpunan yaitu A ∩ B^c dan ∅. Dan untuk menunjukkan kesamaan dua himpunan yang harus dilakukan adalah menunjukkan:

i) A ∩ B^c ⊂ ∅, dan
ii) ∅ ⊂ A ∩ B^c

Jelas ii) berlaku untuk sembarang himpunan.

Tinggal menunjukkan i) berlaku.
Untuk menunjukkan A ∩ B^c ⊂ ∅, cukup ditunjukkan bahwa sembarang anggota A ∩ Bc merupakan anggota ∅.

Langkah yang harus diambil adalah:
Ambil sembarang x anggota A ∩ B^c.
Maka x … (silahkan dimaknai).
Karena A ⊂ B, maka … (silahkan dimaknai).
Diperoleh x ∈ ∅.
Karena x sembarang anggota himpunan A ∩ B^c , maka berlaku

∀ x, x ∈ A ∩ B^c ⇒ x ∈ ∅

Jadi A ∩ B^c ⊂ ∅.

Karena ii) dan i) berlaku maka disimpulkan bahwa A ⊂ B ⇒ A ∩ B^c = ∅.

Untuk bukti (⇐) dan bukti keseluruhan untuk nomor 2, dipersilahkan salah satu mahasiswa
untuk memaparkan di depan kelas.

Atau jika Saudara kesulitan mengakses posting ini Silahkan klik disini untuk download file PDF-nya.

Selamat mencoba.

Basic Idea of Polygon

2010-10-05T20:34:00.000-07:00

In this chapter, we will explain about polygon. We may start from the basic ideas of a polygon, the convexity, basic theorems of polygon, regular polygon, some kinds of polygon, until kinds of quadrilateral. We give you two kinds of exercise in this chapter, because of its large subject material. Some our daily mistakes are also given and directly solved here. We wish for next activity, the mistakes will not be happen again.

BASIC IDEAS

Some figure which is polygon is shown below.

Figure 4.1 Polygon

Some figures which are not polygon are shown below.

Figure 4.2 Not polygon

We shall give the definition of a polygon in a moment. In these figures, observe that a polygon consists of line segments which enclose a single region.

A four-sided polygon is called a quadrilateral (Figure 4.1(a) or (f)). A five-sided polygon is called a pentagon (Figure 4.1(b)), and a six-sided polygon is called a hexagon (Figure 4.1(e)). If we kept using special prefixes such as quad-, penta-, hexa-, and so on for naming polygons, we would have a hard time talking about figures with many sides without getting very confused. Instead, we call a polygon which has n sides an n-gon.

For example, a pentagon could also be called a 5-gon; a hexagon would be called a 6-gon. If we don't want to specify the number of sides, we simply use the word polygon (poly- means many). As we mentioned for triangles (3-gons), there is no good word to use for the region inside a polygon, except "polygonal region", which is a mouthful. So we shall speak of the area of a polygon when we mean the area of the polygonal region, as we did for triangles.

If a segment PQ is the side of a polygon, then we call point P or point Q a vertex of the polygon. With multisided polygons, we often label the vertices (plural of vertex) P1, P2, P3, etc. for a number of reasons. First, we would run out of letters if the polygon had more than 26 sides. Second, this notation reminds us of the number of sides of the polygon; in the illustration, we see immediately that the figure has 5 sides:

Figure 4.3 A Hexagon

Finally, if we want to talk about the general case, the n-gon, we can label its vertices P1, P2 , P3 , … ,Pn - 1, Pn as shown:

Figure 4.4 General n-gon

We can now define a polygon (or an n-gon) to be an n-sided figure consisting of n segments

which intersect only at their endpoints and enclose a single region.

Experiment 4.1.
Below are two rows of polygons. Each polygon in the top row exhibits a common property, while those in the bottom row do not.

Figure 4.5 Polygons

Can you discover what the top row polygons have in common that the bottom ones do not? Try to state the definition of your property as specifically as possible, using terms and concepts that we have already defined. There are many possible answers.

Triangle

2010-09-26T18:32:00.000-07:00

In this chapter we will discus about some properties of triangles. For basic definition, we let the reader to arrange as good as reader can do. We let the reader to find theirself knowledge and after that, they can arrange the definition of a triangle theirself.
To understanding the principal of a triangle, please do the project below.

Project #1:
It is given three segment lines. Their lengths are 10 cm, 7 cm, and 8 cm. Draw a triangle with three segments given.

Project #2:
Given segments line 5, 7, and 10 cm, label it with p, q, r.

Choose one segment given, construct an equilateral triangle, whose sides have the same length as that segment.
Construct a triangle such that one of the sides has the same length as p, while the two other sides have the same length as q.
Construct a triangle whose sides have lengths 5 cm, 7 cm, and 15 cm.
Can you explain why there is trouble with Problem 5?
>Draw any triangle just using a ruler, and measure the length of the three sides. Add up the lengths of any two sides and compare this total with the length of the third side. What do you notice?
Construct a triangle with sides of length 5 cm, 10 cm, and 15 cm. What happens?
Let P, Q, and M be three points in the plane, and suppose d(P, Q) + d(Q, M) = d(P, M). What can you conclude about point P, Q, and M? Draw a picture.

Now, can you tell me what a triangle is?

Rancangan Ujian Geometri Ruang

2010-06-22T01:02:00.001-07:00

Assalamu'alaikum wr.wb.
Salam kawan, universitas negeri semarang akan segera mengadakan ujian akhir semester. Sesuai dengan prosedur mutu maka ujian mata kuliah dibuat sama untuk setiap mata kuliah, walaupun pengampu mata kuliah tersebut berbeda. Melengkapi silabus pembelajaran geometri ruang yang disediakan sampai dengan materi bola, maka berikut adalah beberapa powerpoint yang berhubungan dengan materi tersebut.

Beberapa file tersebut adalah mengenai :

PRISMA SISI TIGA TERPANCUNG

LIMAS SEGITIGA TERPANCUNG

BOLA

TABUNG

Melukis Titik Tembus Garis ke Bidang

2010-03-28T19:51:00.000-07:00

Catatan untuk perkuliahan 30 Maret 2010 Mata kuliah geometri ruang. Pertemuan kemarin sedikit sudah saya singgung mengenai titik tembus. Catatan saya, Saudara masih belum dapat sepenuhnya melukis titik tembus, walaupun tahu pasti menembus. Silahkan periksa gambar berikut ini.

Jelas bahwa sinar garis tersebut menembus bidang merah. Dan titik tembusnya jelas tampak. Permasalahan tersebut akan menjadi sedikit susah ketika bidangnya berupa objek geometri yang tembus pandang dan garis yang tampak secara fisik.

Pada dasarnya untuk melukis titik tembus pada bidang ada tiga proses:

Tentukan bidang yang memuat garis tembus.
Tentukan garis persekutuan antara bidang yang ditembus dengan bidang yang memuat garis tembus.
Tentukan titik potong garis tembus dan garis persekutuan dua bidang tersebut.
Titik potong itulah yang merupakan titik tembus garis ke bidang. Kita langsung coba di objek ruang.

Permasalahan:
Misalkan terdapat kubus ABCD.EFGH. Tentukan titik tembus BD ke ACGE.

Penyelesaian:

Langkah pertama.
Tentukan bidang yang memuat garis BD. Ada beberapa bidang yang memuat garis BD, antara lain ABCD dan BDHF. Kita pilih BDHF sebagai bidang yang memuat garis BD.

Langkah kedua.
Tentukan garis persekutuan antara dua bidang yang dibentuk. Diperoleh, garis PQ adalah garis persekutuan bidang ACGE dan BDHF. (Mengapa?)

Langkah ketiga.
Tentukan titik potong antara BD dan PQ. Yak jelas bahwa BD dan PQ berpotongan di Q. Jadi titik tembus BD ke ACGE adalah titik Q.

Tulisan lain yang berhubungan :
Titik Tembus Garis ke Bidang
Titik Tembus Garis ke Bidang - Solusi #1

PERTANYAAN TUGAS (Silahkan buka tulisan lainnya di Blog ini yang berhubungan)

Lukiskan titik tembus CE ke BDG pada kubus ABCD.EFGH.
Misalkan T adalah titik potong diagonal FH dan EG. K di EH sehingga EK : KH = 1 : 3. L di CG sehingga CL : LG = 1 : 2. Tunjukkan apakah KL menembus limas T.ABCD? Jika tidak menembus, tentukan dimana letak M di CG sehingga KM tepat menembus limas di satu titik saja.

Melukis Sudut 36 derajat

2010-03-20T21:20:00.000-07:00

Melukis sudut bukanlah hal yang asing untuk matematikawan. Pun, hal lumrah saja bagi pecinta geometri dan peserta kuliah geometri. Beberapa sudut istimewa telah biasa dilukis, tapi mungkin nanti lambat laun saya tuliskanlah. Sebelum kita mulai pembelajaran ada baiknya peralatan yang digunakan disiapkan terlebih dahulu, yaitu hanya penggaris, jangka, dan pensil. Tidak ada busur dalam daftar peralatan, jadi menggunakan busur untuk sementara ini, HARAM hukumnya.

Nah sobat, untuk melukis sudut 36 derajat pada prinsipnya kita hanya melukis sebuah segilima beraturan pada sebuah lingkaran. Yak, segilima, mengapa? Perhatikan saja gambar di bawah!

"Bapak, bukankah itu sudut 72 derajat?" Tanya seorang mahasiswa.
Memang betul kawan, itu 72 derajat. Tapi bukankah untuk 36 derajat artinya setengah dari 72 derajat.

Dan untuk membagi sudut menjadi dua, sudah pernah terbahas sebelumnya. Okelah, akan saya jelaskan di halaman lain.

Nah ini dia caranya,

Langkah pertama.
Lukiskan sebuah lingkaran dan diameter yang saling tegak lurus.

Langkah kedua.
Lukiskan titik tengah salah satu jari-jari pada lingkaran tersebut. Dengan berpusat di O dan A, buatlah kurva yang saling berpotongan, untuk kemudian perpotongan jari-jari dengan garis hubung perpotongan kurva tersebut adalah titik tengah jari-jari tersebut. Beri nama titik tengah tersebut dengan P.

Langkah ketiga.
Hubungkan titik P dan titik B.

Langkah keempat.
Dengan berpusat di P dan jarak PB, busurkan jangka hingga memotong pelurus jari-jari P. Beri nama R. dan BR adalah panjang sisi segilima tersebut.

Langkah kelima.
Busurkan ruas garis BR hingga memotong lingkaran. Beri nama C, sudut COB itulah yang besarnya 72 derajat.

Langkah keenam.
Bagilah sudut COB menjadi dua, dan rasanya itu bukan hal yang susah.
OKE kawan.

Selamat Mencoba.

Melukis garis bagi sudut

2010-03-17T00:25:00.000-07:00

Materi tulisan ini sebagai awalan untuk beberapa materi yang akan disampaikan kemudian. Melukis garis bagi sudut sesungguhnya adalah meukis sudut itu sendiri. Contohnya, untuk melukis sudut 30 derajat. Untuk melukis sudut 30 derajat, kita tidak dapat langsung melukis sudut 30 derajat, akan tetapi melalui lukisan sudut 60 derajat terlebih dahulu, untuk kemudian dari sudut 60 derajat tersebut kita lukiskan garis bagi sudut sehingga sudut 60 derajat tersebut terbagi menjadi 2, dan terbentuk sudut 30 derajat.

Baik, kita mulai saja.

Permasalahan:
Lukiskan garis bagi sudut dari sudut AOB yang diketahui di bawah ini.

Penyelesaian:

Langkah pertama.
Berpusat pada O, busurkan lingkaran dengan panjang jari-jari sembarang sehingga memotong sinar AO di P dan memotong sinar OB di Q

Langkah kedua:
Berpusat di P dan berpusat di Q, busurkan lingkaran dengan panjang jari-jari sama, sampai berpotongan di depan sudut AOB, di titik R

Langkah ketiga.
Hubungkan O dengan R. Sudut AOR besarnya adalah setengah besar sudut AOB. Selesai.

Selamat Mencoba.

Soal Ujian Akhir PDM

2010-01-11T20:21:00.000-08:00

Assalamu'alaikum.wr.wb. WOW, demikian kata beberapa mahasiswa seusai ikut ujian PDM. Memang naskah soal saya pake bahasa inggris. Bukan bergaya namun tuntutan jurusan. Makin lama memang kampus Unnes akan meng-Internasional. Nah salah satunya saya harus bisa memaksa anak-anak untuk dapat beringgris ria. Silahkan saudara coba ambil dan kerjakan ya. hehehehehe.... Sukses selalu.

Pembuktian Teorema

2009-10-20T09:17:00.001-07:00

Sederhana saja, artikel ini disajikan untuk memecahkan teorema sederhana berikut. Tinggalkan saja kritik atau sanggahan atas yang kami sajikan. Mungkin belum serta merta menyelesaikan, namun dapat digunakan sebagai pertimbangan untuk memulia langkah dengan analisis versi lain.

Teorema 1.
A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A

Bukti:
(⇒) DITUNUKKAN DARI RUAS KIRI KE RUAS KANAN!
Dipunyai A ⊂  B.
Karena A ⊂  B maka ∀x∈A berlaku x∈B.
Maka berlaku x∈A ⇒ x∈B.
Karena A ⊂  B maka berlaku Bc ⊂  Ac.
Ditunjukkan A ∩ B = A.

(i) Ditunjukkan A ⊂  (A ∩ B).

Ambil sembarang x ∈ A.
Jelas berlaku x ∈ A 
⇔  x ∈ A ∧ x ∈ A   (menurut hukum idempoten)
⇔  x ∈ A ∧  x ∈ B   (menurut definisi A ⊂  B)
⇔  x ∈ (A ∩ B) (menurut definisi irisan)
Diperoleh x ∈ A berlaku x ∈ (A ∩ B).
Karena x adalah sembarang anggota A, maka berlaku ∀x∈A maka x∈ (A ∩ B).
Jadi A ⊂  (A ∩ B). 

(ii) Ditunjukkan (A ∩ B) ⊂  A.

Jelas Ac ⊂  (Ac ∪ Bc) 
⇔  Ac ⊂  (A ∩ B)c
⇔  (A ∩ B) ⊂  A (menurut sifat komplemen)
Dari (i) dan (ii) diperoleh fakta bahwa (A ∩ B) = A jika A ⊂ B.
Jadi (⇒) berlaku.

(⇐) DITUNJUKKAN DARI RUAS KANAN KE RUAS KIRI!
Dipunyai (A ∩ B) = A. Ditunjukkan A ⊂  B.
Akan ditunjukkan melalui kontraposisinya yang benar, yaitu A ⊄ B ⇒ A ∩ B ≠ A.
Cukup ditunjukkan bahwa (A∩B) ⊄ A atau A ⊄ (A∩B).
Jelas bahwa (A∩B) ⊂  A.  Jadi ditunjukkan A ⊄ (A∩B).
Dipunyai A ⊄ B.
Artinya   ∃x1∈A namun x1∉B.
Jelas x1∉ (A∩B).
Jadi   ∃x1∈A namun x1∉A∩B.
Jadi A⊄ (A∩B).
Jadi jika A ⊄ B maka A ∩ B  A.
Artinya jika A∩B = A maka A⊂B.

Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa A⊂B ⇔  A∩B = A.

#7. Aturan Penggantian dan Penyimpulan

2009-10-07T08:51:00.000-07:00

Assalamu’alaikum wr.wb.

Malam sobat mahasiswa, saat ini materi yang saya tulis adalah argumen dan pembuktian argumen dengan aturan penyimpulan. Berikut disajikan aturan penyimpulan dan juga aturan penggantian sebagai syarat untuk pembuktian keabsahan suatu argumen.

Definisi:
Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen.

Contoh:
1. p ⇒ q
2. p / ∴ q

1. ( p ⇒ q ) ∧ ( r ⇒ s )
2. ¬q ∨ ¬s / ∴ ¬p ∨ ¬r

1. p
2. q / ∴ p ∧ q

ATURAN PENYIMPULAN

1. Modus Ponens (MP)
p ⇒ q
p / ∴ q

2. Modus Tolens (MT)
p ⇒ q
¬q / ∴ ¬p

3. Hypothetical Syllogisme (HS)
p ⇒ q
q ⇒ r / ∴ p ⇒ r

4. Disjunctive Syllogisme (DS)
p ∨ q
¬ p / ∴ q

5. Constructive Dillema (CD)
( p ⇒ q ) ∧ ( r ⇒ s )
p ∨ r / ∴ q ∨ s

6. Destructive Dillema (DD)
( p ⇒ q ) ∧ ( r ⇒ s )
¬ q ∨ ¬ s / ∴ ¬p ∨ ¬r

7. Conjunction (Conj)
p
q / ∴ p  q

8. Simplification (Simpl)
p  q
∴ p

9. Addition ( Add)
p
∴ p ∨ q

X&OR;. ATURAN PENGGANTIAN
1. De Morgan
a. ¬ ( p ∧ q ) ≡ ¬ p ∨ ¬ q
b. ¬ ( p &OR; q )  ¬ p  ¬ q
2. Komutatif
a. ( p ∧ q ) ≡ ( q ∧ p )
b. ( p &OR; q ) ≡ ( q &OR; p )
3. Asosiatif
a. ( p &OR; q ) &OR; r ≡ p &OR; ( q &OR; r )
b. ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ ( q ∧ r )
4. Distributif
a. ( p &OR; q ) ∧ r ≡ ( p ∧ r ) &OR; ( q ∧ r )
b. ( p ∧ q ) &OR; r ≡ ( p &OR; r ) ∧ ( q &OR; r )
5. Dobel Negasi
¬ ( ¬ p ) ≡ p

6. Implikasi
p ⇒ q ≡ ¬ p &OR; q
7. Material Equivalen
a. p ⇔ q ≡ ( p ⇒ q )  ( q ⇒ p )
b. p ⇔ q ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q )
8. Eksportasi
p ⇒ ( q ⇒ r )  ( p  q ) ⇒ r
9. Transposisi
p ⇒ q  ¬ q ⇒ ¬ p
10. Tautologi
a. ( p ∨ p ) ≡ p
b. ( p ∧ p ) ≡ p
Contoh:
Selidiki keabsahan argumen di bawah ini!
1. a ⇒ ( b ⇒ c )
2. c ⇒ ( d ∧ e ) / a ⇒ ( b ⇒ d )
3. ( a ∧ b ) ⇒ c 1, Eksportasi
4. ( a ∧ b ) ⇒ ( d ∧ e ) 3,4, Hypothetical Syllogisme
5. ¬ ( a  b ) ∨ ( d ∧ e ) 4, Implikasi
6. ( ¬ a ∨ ¬ b ) ∨ ( d ∧ e ) 5, De Morgan
7. [(¬ a ∨ ¬ b ) ∨ d ] ∧ [(¬ a &OR; ¬ b ) ∨ e ] 6, Distribusi
8. (¬ a ∨ ¬ b ) ∨ d 7, Simplifikasi
9. ¬ a ∨ ( ¬ b ∨ d ) 8, Asosiasi
10. A → ( b → d ) 9, Implikasi

Soal:
Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!
1. ( k ∨ l ) ⇒ ¬ ( m ∧ n )
2. ( ¬ m ∨ ¬ n ) ⇒ ( o ⇔ p )
3. ( o ⇔ p ) ⇒ ( q ∧ r ) / ∴ ( l ∨ k ) ⇒ ( r ∧ q )

Writing Symbol on Blog Posting

2009-09-17T08:23:00.000-07:00

Assalamu'alaikum wr.wb.

Congratulation brother!!!
That's amazing job. My student in PDM, has done a great job. Even it's just small development. I have learn how to write symbol on blog posting, i need it, because i am mathematician and mathematics is full of symbol. Ok brother, just read this post till end to know how to write mathematics symbol on blog posting.

Huahahahahahaha....

i know... i know... i know...
Off course its so simple.
Just put the code of symbol which is we want to write between

<code> ... </code>

The blank area above will be filled by code that is linked at below.
Wikipedia
Ascii
w3schools
This is just samples link, you may search another link to study.

Try it, and get fun.

O... i almost forget, simple way to make the written become subscript or superscript, by this code:

 ...  as subscript

 ...  as superscript

That's all brother, try it, and never stop to study.

Oiya...

This is a small sample for you.

x₁ and x₂ by writing x1 and x2
3^2x+1 . 3^x+15 by writing 32x+1 . 3x+15
p ⇒ q by writing p <code>⇒</code> q
And any other symbol as shown on my posting :)

#6. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

2009-09-05T11:14:00.000-07:00

Assalamu’alaikum wr.wb.

Materi keeanam adalah teori tentang konvers, inver, dan kontraposisinya. Sekali lagi, materi ini sudah pernah terdengar, namun ada baiknya jika kita mengulang kembali untuk lebih memperdalam pemahaman kita. Selamat belajar.

Referensi:

1. Chotim, M. 2007. Kalkulus 2 (Handout). Semarang: Unnes (Tidak diterbitkan)

Dari pernyataan yang berupa implikasi p ⇒ q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sbagai brikut:
(a) Pernyataan q ⇒ p disebut Konvers dari p ⇒ q
(b) Pernyataan ~p ⇒ ~q disebut Invers dari p ⇒ q
(c) Pernyataan ~q ⇒ ~p disebut Kontraposisi dari p ⇒ q.

Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi perhatikanlah tabel kebenaran berikut :

p	q	Implikasi p `⇒` q	Konvers q `⇒` p	Invers ~p `⇒` ~q	Kontraposisi ~q `⇒` ~p
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S
S	B	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B

Dari tabel di atas ternyata:
Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya atau ditulis

p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p

dengan kata lain jika implikasi bernilai benar maka kontraposi-sinya juga bernilai benar atau jika implikasi bernilai salah maka kontraposisinya juga bernilai salah.

Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya atau ditulis

q ⇒ p ≡ ~p ⇒ ~q .

Contoh:
Tentukanlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
(1) Jika harga bahan bakar minyak naik maka harga beras naik.
(2) Jika x > 6 maka x² ≥ 36

Penyelesaian:

Soal (1)
Konvers : Jika harga beras naik maka harga bahan bakar minyak naik.
Invers : Jika harga bahan bakar minyak tidak naik maka harga beras tidak naik.
Kontraposisi: Jika harga beras tidak naik maka harga bahan bakar minyak tidak naik.

Soal (2)
Tulis
p: jika x² &re; 36
q: x > 6.
Jadi ~p: x² < 36
~q: x ≤ 6.
Jadi konvers p ⇒ q ≡ q ⇒ p ≡ “jika x > 6 maka x² &re; 36”,

invers p ⇒ q ≡ ~p ⇒ ~q ≡ ”jika x² < 36 maka x ≤ 6”,

kontraposisi p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p ≡ “jika x ≤ 6 maka x² < 36”.

Soal (3)
Jika (p ∧ q) ⇒ r
Jelas konvers (p ∧ q) ⇒ r ≡ r ⇒ (p ∧ q),
invers (p ∧ q) ⇒ r ≡ ~(p ∧ q) ⇒  r ≡ (p ∨ q) ⇒  r,
kontraposisi (p ∧ q) ⇒ r ≡  r ⇒ ~(p ∧ q) ≡  r ⇒ (~p ∨ q).

Tugas 4

(Soal nomor 1)
Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi
berikut ini:

(a) (p ∧ q) ⇒ r
(b) p ⇒ (q ∧ r)
(c) ~p ⇒ (q ∧ ~r)
(d) (p ∨ ~q) ⇒ (q ∧ r)
(e) (~q ∧ ~r) ⇒ (~p ∨ q)
(f) (q ∨ ~r) ⇒ (p ∧ r)

(Soal nomor 2)
Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi pernyataan:

(a) Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.
(b) Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.
(c) Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.
(d) Jika x > 10 maka x² > 100
(e) Jika x² – 16 = 0 , maka x = 4 atau x = – 4.
(f) Jika sin x = 90° – cos x, maka x merupakan sudut lancip.
(g) Jika tan x = -1, maka x = 135° dan x = 315°

Propositional Logic Terms and Symbols

2009-09-04T07:14:00.001-07:00

Assalamu'alaikum wr.wb.

Berikut ini adalah article sederhana tentang proporsitional logic, by Peter Suber. cobalah untuk pahami, kemudian aplikasikan dalam permasalahan nyata. Selamat Belajar

Article by Peter Suber, Philosophy Department, Earlham College

A simple statement is one that does not contain any other statement as a part. We will use the lower-case letters, p, q, r, ..., as symbols for simple statements.

A compound statement is one with two or more simple statements as parts or what we will call components. A component of a compound is any whole statement that is part of a larger statement; components may themselves be compounds.

An operator (or connective) joins simple statements into compounds, and joins compounds into larger compounds. We will use the symbols, , · , , and to designate the sentential connectives. They are called sentential connectives because they join sentences (or what we are calling statements). The symbol, ~, is the only operator that is not a connective; it affects single statements only, and does not join statements into compounds.

The symbols for statements and for operators comprise our notation or symbolic language. Parentheses serve as punctuation.

Simple statements

p	"p is true"	assertion
~p	"p is false"	negation

Compounds and connectives

p q	"either p is true, or q is true, or both"	disjunction
p · q	"both p and q are true"	conjunction
p q	"if p is true, then q is true"	implication
p q	"p and q are either both true or both false"	equivalence

Implication statements (p q) are sometimes called conditionals, and equivalence statements (p q) are sometimes called biconditionals.

To indicate that a compound is to be taken as a whole or single statement, we put it in parentheses. For example, p q is a compound. Its negation is ~(p q). When the negation sign is outside the parentheses, it affects the entire compound, not just the first component, p. Its conjunction with the compound, q r, would be expressed, (p q)·(q r). If we wanted to say that the whole latter statement was false, we would write, ~[(p q)·(q r)]. If we wanted to say that either the whole latter statement was true, or that s t was true, we would write, ~[(p q)·(q r)] (s t). And so on.

The truth value of a statement is its truth or falsity. All meaningful statements have truth values, whether they are simple or compound, asserted or negated. That is, p is either true or false, ~p is either true or false, p q is either true or false, and so on.

A compound statement is truth-functional if its truth value as a whole can be figured out solely on the basis of the truth values of its parts or components. A connective is truth- functional if it makes only compounds that are truth-functional. For example, if we knew the truth values of p and of q, then we could figure out the truth value of the compound, p q. Therefore the compound, p q, is a truth-functional compound and disjunction is a truth-functional connective.

All four of the connectives we are studying (disjunction, conjunction, implication, and equivalence) are truth-functional. Negation is a truth-functional operator. With these four connectives and negation we can express all the truth-functional relations among statements. (Can you imagine how we would prove this?)

A truth table is a complete list of the possible truth values of a statement. We use "T" to mean "true", and "F" to mean "false" (though it may be clearer and quicker to use "1" and "0" respectively).

For example, p is either true or false. So its truth table has just 2 rows:

But the compound, p q, has 2 components, each of which can be true or false. So there are 4 possible combinations of truth values. The disjunction of p with q will be true as a compound whenever p is true, or q is true, or both:

p	q	p q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

If a compound has n distinct simple components, then it will have 2ⁿ rows in its truth table.

The truth table columns that define the basic connectives are as follows:

p	q	~p	~q	p q	p · q	p q	p q
T	T	F	F	T	T	T	T
T	F	F	T	T	F	F	F
F	T	T	F	T	F	T	F
F	F	T	T	F	F	T	T

Most statements will have some combination of T's and F's in their truth table columns; they are called contingencies. Some statements will have nothing but T's; they are called tautologies. Others will have nothing but F's; they are called contradictions. Obviously these three types of propositions exhaust the possibilities for statements that have truth table columns --which means for all truth-functional statements.

In the conditional, p q, the first statement or "if- clause" (here p) is called the antecedent and the second statement or "then-clause" (here q) is called the consequent. Of course in more complicated conditionals, the antecedent and consequent could be compounds rather than (as here) simple statements.

Any argument can be expressed as a compound statement in the following way. Take all the premises, conjoin them, and make that conjunction the antecedent of a conditional; make the conclusion the consequent. This implication statement is called the corresponding conditional of the argument. Every argument has a corresponding conditional, and every implication statement has a corresponding argument. Note that because the corresponding conditional of an argument is a statement, it is therefore either a tautology, a contradiction, or a contingency.

An argument is valid if and only if its corresponding conditional is a tautology. There are other tests for validity using truth tables. The chief alternative test searches for a counterexample or invalidating row: a possible universe (substitution instance) in which all the premises are true and the conclusion is false. If there are no counterexamples, the argument is valid; if there is even one, it is invalid.

Two statements are consistent if and only if their conjunction is not a contradiction.

Two statements are logically equivalent if and only if their truth table columns are identical --if and only if the statement of their equivalence using "" is a tautology.

Obviously truth tables are adequate to test validity, tautology, contradiction, contingency, consistency, and equivalence. This is important because truth tables require no ingenuity or insight, just patience and the mechanical application of rules. No matter how dumb we are, truth tables correctly constructed will always give us the right answer.

Can you see why a truth table can be constructed for every truth-functional statement, and only for truth-functional statements?

#5. Fungsi Predikat dan Kalimat Berkuantor

2009-08-30T11:45:00.001-07:00

Assalamu'alaikum wr. wb.

Materi kelima adalah tentang fungsi predikat dan kalimat berkuantor. Memahami materi ini memang tidak begitu mudah, namun sungguh saya yakin, saudara telah pernah bertemu dengan makanan berikut ini. Nikmati saja ya.

Referensi

GRIMALDI, R.P., "Discrete and Combinatorial Mathematics - An Applied Introduction", 2nd Edition, Addison Wesley Publishing Company, Massachusetts, 1989.
JOHNSONBAUGH, R., "Matematika Diskrit", Edisi ke 4, Jilid I dan II, PT. Prenhallindo, Jakarta, 1998.
ROSEN, K.H., "Discrete Mathematics and Its Application", 5th Edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 2003.
TREMBLAY, J.P. AND MANOHAR,R., "Discrete Mathematical Structures with Apllications to Computer Science", McGraw-Hill Book Company, New York, 1988.

Definisi (Fungsi proposisi/Predikat)
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of discourse) dari P.

CONTOH (1)
Berikut ini beberapa contoh fungsi proposisi:

n² + 2n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal himpunan bilangan bulat.
x² – x – 6 = 0, dengan daerah asal himpunan bilangan real.
Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 pada tahun 1974, dengan daerah asal himpunan pemain bisbol.

Sebuah predikat seringkali menyatakan sebuah hubungan relasional antara: konstanta, variabel dan fungsi.

Simbol-simbol yang digunakan dalam logika predikat:

Simbol konstanta : a, b, c, d.
Simbol variabel : x, y, z, w.
Simbol fungsi : f, g, h.
Simbol predikat : P, Q, R, S.

CONTOH (2)
Beberapa contoh predikat:

2x+3 < 5, dengan x bilangan bulat positip dapat ditulis sebagai untuk setiap x (bulat positip), P(x) : f(x) < 5
x + y ≤ x - y, dengan x dan y bilangan real dapat ditulis sebagai untuk setiap x,y anggota himpunan bilangan (real),
Q(x, y) : f(x, y) ≤ g(x, y)
jika x > 0 maka 4x + 1 > 1, dengan x bilangan bulat dapat ditulis sebagai beberapa x anggota himpunan biangan (bulat), jika R(x) : x > 0, maka S(x) : h(x) > 1

Predikat P(x) menyatakan hubungan relasional antara fungsi f(x) dan konstanta 5. Predikat Q(x; y) menyatakan hubungan relasional antara fungsi f(x; y) dengan fungsi g(x; y). Contoh ketiga memuat penghubung bersyarat "jika ... maka ... " dengan premis predikat R(x) dan konklusi predikat S(x).

Definisi (Kuantor)
Misalkan P(x) adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D.
Pernyataan "untuk setiap x, P(x)" dikatakan sebagai pernyataan kuantor universal dan secara simbolik ditulis sbb:

∀x; P(x)

Simbol "∀" disebut kuantor universal.

Pernyataan "untuk beberapa x, P(x)" dikatakan sebagai pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbolik ditulis sbb:

∃x; P(x)

Simbol "∃" disebut kuantor eksistensial.

Pernyataan untuk setiap x, P(x) bernilai benar jika untuk setiap x anggota D, maka P(x) bernilai benar. Pernyataan beberapa x, P(x) bernilai benar jika terdapat sekurang-kurangnya satu x anggota D sehingga P(x) bernilai benar. Jadi untuk mengevaluasi sebuah proposisi dalam bentuk simbolik dan memuat predikat, kita harus menetapkan daerah asal dari setiap variabelnya dan memberikan interpretasi terhadap fungsi dan predikat yang ada didalamnya.

CONTOH (3)
Tulislah proposisi berikut secara simbolik:

"Untuk setiap bilangan bulat positip yang habis dibagi dengan 6 juga habis dibagi dengan 3"

Jawaban:

Misalkan: Predikat "x habis dibagi dengan y" secara simbolik ditulis sebagai P(x,y). Maka predikat "x habis dibagi 6 juga habis dibagi 3" secara simbolik dapat ditulis sbb:
Jika P(x,6) maka P(x,3)
Jadi proposisi yang ditanyakan secara simbolik dapat ditulis sbb:
x, Jika P(x,6), maka P(x,3)
dengan daerah asal himpunan bilangan bulat positip.

CONTOH (4)
Evaluasilah apakah proposisi berikut benar atau salah:
x y, Q(x,y) dengan Q(x,y) mempunyai interpretasi 2x = y dan x, y mempunyai daerah asal himpunan bilangan ganjil.

Jawaban:
Proposisi tersebut dapat dikatakan sbb:
Untuk setiap bilangan ganjil x dapat ditemukan bilangan ganjil y sehingga 2x=y.
Karena untuk setiap x bilangan ganjil 2x bilangan genap, maka bilangan y adalah genap (dengan kata lain bilangan ganjil y tak pernah ditemukan).
Jadi proposisi yang ditanyakan bernilai salah.

#4. Ingkaran dari Operasi Logika

2009-08-29T19:29:00.001-07:00

Assalamu'alaikum wr.wb.

Materi berikutnya adalah Ingkaran dari operasi logika matematika. Mohon agar dapat diperhatikan. Materi ini sangat saudara perlukan dalam kaitannya dengan mata kuliah Analisis Real, kalkulus dan aljabar. Terutama pada saat pembuktiak reductio ad absordum. Silahkan saudara pahami sebentar untuk kemudian didiskusikan dengan rekan.

Referensi

Chotim, M. 2007. Kalkulus 2 (Handout). Semarang: Unnes (Tidak diterbitkan)

(1) Ingkaran dari Konjungsi.
Untuk menentukan ingkaran dari konjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

10 adalah bilangan asli dan 10 habis dibagi 5.
3 adalah faktor dari 8 dan 3 adalah bilangan prima.
Gedung lawang sewu terletak di kota Semarang dan Pasar Johar siang hari ramai pengunjung.
Hari ini hujan dan air sungai meluap.

Penyelesaian:

10 tidak bilangan asli atau 10 tidak habis dibagi 5.
3 tidak faktor dari 8 atau 3 tidak bilangan prima.
Gedung lawang sewu tidak terletak di kota Semarang atau Pasar Johar siang hari tidak ramai pengunjung.
Hari ini tidak hujan atau air sungai tidak meluap.

(2) Ingkaran dari Disjungsi.
Demikian pula untuk menentukan ingkaran dari disjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

10 adalah bilangan asli atau 10 habis dibagi 5.
3 adalah faktor dari 8 atau 3 adalah bilangan prima.
Gedung lawang sewu terletak di kota Semarang atau Pasar Johar siang hari ramai pengunjung.
Hari ini hujan atau air sungai meluap.

Jawab:

10 tidak bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5.
3 tidak faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima.
Gedung lawang sewu tidak terletak di kota Semarang dan Pasar Johar siang hari tidak ramai pengunjung.
Hari ini tidak hujan dan air sungai tidak meluap.

(3) Ingkaran dari Implikasi.
Untuk menentukan ingkaran dari implikasi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

Jika 10 adalah bilangan asli maka 10 habis dibagi 5.
Jika 3 adalah faktor dari 8 maka 3 adalah bilangan prima.
Jika 4 + 6 > 10 maka harimau bintang buas.
Jika hari ini hujan maka air sungai meluap.

Penyelesaian:

10 adalah bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5 .
3 adalah faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima
4 + 6 > 10 dan harimau tidak binatang buas .
Hari ini hujan dan air sungai tidak meluap.

(4) Ingkaran dari Biimplikasi.
Demikian pula untuk menentukan ingkaran dari biimplikasi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:

Dalam membuat tabel kebenaran yang perlu diperhatkan adalah semua proposisi yang dibutuhkan diusahakan dibuat:

Contoh:

Buatlah tabel kebenaran dari {(p ∨ ~r) ∧ q} ⇔ (~q ⇒ r)

Penyelesaian :

Contoh:

Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:

10 adalah bilangan asli jika dan hanya jika 10 habis dibagi 5.
3 adalah faktor dari 8 jika dan hanya jika 3 adalah bilangan prima.
4 + 6 > 10 jika dan hanya jika harimau binatang buas.
Hari ini hujan jika dan hanya jika air sungai meluap.

Penyelesaian:

Tulis:
p: 10 adalah bilangan asli
q: 10 tidak habis dibagi 5.
Jelas ¬(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p).
Jadi ¬(p ⇔ q) ≡ 10 adalah bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5 atau 10 habis dibagi r dan 10 bukan bilangan asli.
3 adalah faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima atau 3 adalah bilangan prima dan 3 tidah faktor dari 8.
4 + 6 > 10 dan harimau tidak binatang buas atau harimau binatang buas dan 4 + 6 ≤ 10.
Hari ini hujan dan air sungai tidak meluap atau air sungai meluap dan hari ini tidak hujan.

Tugas 3.
Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut :

Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°
Melalui dua buah titik dapat dibuat sebuah garis lurus.
Dua garis sejajar tidak mungkin berpotongan. .
114 habis dibagi dengan 4.
Sudut 91 derajat adalah sudut sudut tumpul.
x bilangan negatif ditulis x < 0

Tentukan nilai kebenaran dari pernyatakan berikut:

3 adalah factor dari 113 dan 2 bukan bilangan prima.
Sin²x + cos²x = 1 dan Gedung lawang sewu terletak di Semarang.
Tahun 2000 merupakan tahun kabisat atau Indonesia merupakan negara agraris.
7+ 8 = 15 atau 15 adalah bilangan prima.
Jika Indonesia anggota PBB maka Indonesia anggota OPEC.
Jika Jika 3 x 2 > 9 maka ²log 8 = 4.
Jika 5 adalah factor dari 125 maka 20 habis dibagi 5.
Bangun ABCD merupakan bujur sangkar jika dan hanya jika ABCD persegi.
Akar-akar persamaan kuadrat mrupakan bilangan riil jika dan hanya jika Diskriminannya lebih besar nol.
5 bilangan genap jika dan hanya jika 52 = 30.

Jika p pernyataan yang bernilai benar dan q pernyataan yang bernilai salah, tentukanlah nilai kebenaran proposisi berikut ini:
(a) ~p ∧ q
(b) ~p ∧ ~q
(c) p ∨ ~q
(d) ~p ∨ ~q
(e) (p ∧ ~q) ∨ (~p ∨ q)
(f) (~p ∨ ~q) ∧ (~p ∧ ~q)
(g) (~p ⇒ q) ∧ (~p ∧ ~q)
(h) (~p ∧ q) ⇒ (~p ⇒ ~q)
(i) (p ⇔ ~q) V (~p ⇒ ~q)
(j) ~(~p ⇒ q) ⇔ (p ∨ ~q)

Buatlah tabel kebenaran proposisi untuk pertanyaan soal berikut ini:

(a) (~p ∧ q) ∨ (p ∨ ~q)
(b) (~p ∧ q) ⇒ (p ⇒ ~q)
(c) (p ⇔ q) ∨ (~p ⇒ ~q)
(d) (p ∨ ~q) ⇔ ( ~p ∧ r)
(e) (~p ∨ r) ⇒ (q ⇔ ~r)
(f) {(p ⇒ ~r) ∨ q} ⇔ {(~p ∨ ~q) ⇔ r}

Jika nilai kebenaran suatu proposisi adalah benar semua maka disebut tautology sedang jika diperoleh nilai salah semua disebut kontradiksi.

Selidikilah dengan membuat tabel kebenaran terlebih dahulu proposisi berikut ini merupakan tautologi atau merupakan kontradiksi.

(a) p ⇒ ( p ∨ q )
(b) ( p ∧ q ) ∧ ~( p ⇒ q )
(c) ( p ∧ q ) ⇒ p
(d) ~p ∧ ~( p ⇒ q )
(e) q ⇒ ( p ∨ q )
(f) {( p ⇒ q ) ∧ p} ⇒ q
(g) {( p ⇒ q ) ∧ ~q} ⇒ ~p
(h) {( p ⇒ q ) ∧( q ⇒ r )} ⇒ ( p ⇒ r )

Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut:

(a) Indonesia merupakan negara agraris dan maritim.
(b) Temanduduk saya anak yang pemalu atau pendiam.
(c) 2x + 4 = 12 atau 6 + 5 > 10
(d) cos2x = 1 – 2sin²x dan 5 + 6x ≤ 17
(e) Saya berangkat sekolah naik Bus kota dan harus membayar.
(f) x² – 2x – 8 = 0 atau x = 4 atau x = -2

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut:

(a) Jika sin²x + cos²x = 1, maka Jakarta ibukota RI
(b) Jika 2 + 4 = 6, maka 2 x 4 = 8
(c) Hari ini hujan jika dan hanya jika air sungai itu meluap
(d) Jika segiempat itu bujur sangkar, maka sisinya sama panjang dan sudut sudutnya 90°
(e) Segitiga ABC samakaki jika dan hanya jika sudut alasnya sama besar.
(f) Jika harga minyak naik maka harga semua barang naik
(g) Semua siswa naik kelas jika dan hanya jika semua siswa bergembira
(h) AC tegak lurus BD jika dan hanya jika ABCD layang-layang
(i) Jika petani menanam padi maka harga beras turun.
(j) Jika hujan turun maka air sungai meluap.

#3. Implikasi dan Biimplikasi

2009-08-29T18:53:00.001-07:00

Assalamu'alaikum wr.wb.

Materi ketiga adalah berkaitan dengn implikasi dan biimplikasi. Masih sederhna, merupakan repetisi dari kegiatan pembelajaran di sekolah. Rasanya tidak sampai setengah jam, materi ini dikuasai dengan mudah. Permasalahan akan muncul pada saat saudara menentukan ingkaran dari operasi logika tersebut.

Referensi

Chotim, M. 2007. Kalkulus 2 (Handout). Semarang: Unnes (Tidak diterbitkan)

Implikasi (kondisional)
adalah operasi penggabungan dua buah pernyataan yang menggunakan penghubung logika "jika … , maka … " yang lambangnya " → ". atau " ⇒ ".

Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis "p → q" atau "p ⇒ q" dan dibaca "jika p, maka q".

Pernyataan bersyarat p ⇒ q juga dapat dibaca " p hanya jika q " atau " p adalah syarat cukup bagi q " atau " q adalah syarat perlu bagi p ".

Pada pernyataan p ⇒ q
p disebut hipotesa, anteseden, atau sebab
q disebut konklusi/konsekuen/akibat.

Tabel nilai kebenaran Implikasi sebagai berikut:

p	q	p `⇒` q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

atau

P	q	pq
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Catatan :
Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa implikasi p ⇒ q bernilai salah (S) jika anteseden bernilai benar (B) dan konskuen bernilai salah (S), jika tidak demikian maka p ⇒ q bernilai benar(B).

Contoh 1:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut yang disusun dari
p: Hari ini matahari bersinar terang (B)
q: Hari ini angin bertiup kencang (S).

Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin bertiup kencang.
Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin tidak bertiup kencang
Jika hari ini mata hari tidak bersinar terang maka angin bertiup kencang
Jika hari ini matahari tidak bersinar terang maka angin tidak bertiup kencang.

Jawab:

Pernyataan bernilai salah (S).
Pernyataan bernilai benar (B) .
Pernyataan bernilai benar (B)
Pernyataan bernilai benar (B).

Biimplikasi (bikondisional)
adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung logika " … jika dan hanya jika … " dan diberi lambang " ⇔ " atau " ↔ ".

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis " p ⇔ q " atau
"p ↔ q" dibaca "p jika dan hanya jika q " dan sering juga dibaca " p equivalen q " dimana p adalah syarat perlu dan cukup bagi q.

Tabel nilai kebenaran biimplikasi sebagai beriku

p
q
p ⇔ q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
atau
p
q
pq
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1

Dari tabel di atas dapat disebutkan bahwa p ⇔ q bernilai benar jika kedua komponen penyusunnya memiliki nilai kebenaran yang sama (benar semua atau salah semua).
Contoh:

Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang disusun berdasarkan pernyataan:
p: 2 bilangan prima
q: 2 + 6 = 12
1. 2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 = 12
2. 2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 tidak sama dengan 12
3. 2 bukan bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 = 12
4. 2 bukan bilangan prime jika dan hanya jika 2 + 6 tidak sama dengan 12
Penyelesaian:
1. Tulis p: 2 bilangan prima
  q: 2 + 6 = 12.
  Jelas nilai kebenaran p adalah B dan nilai kebenaran q adalah S.
  Jadi nilai kebenaran p q adalah salah (S).
2. Kalimat bernilai benar (B)
3. Kalimat bernilai salah (S)
4. Kalimat bernilai benar (B)

#2. Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi

2009-08-25T23:32:00.001-07:00

Assalamu'alaikum wr.wb.

Saudara mahasiswa, pada materi ini, saudara akan memperoleh materi mengenai operasi dalam logika. Seharusnya ada empat operasi logika, namun untuk satu materi ini cukuplah dua dulu untuk kemudian dapat saudara lanjutkan pada materi berikutnya.

Referensi

Chotim, M. 2007. Kalkulus 2 (Handout). Semarang: Unnes (Tidak diterbitkan)

Pada pernyataan dapat dilakukan operasi. Jika operasi itu dikenakan pada satu pernyataan, maka operasinya disebut operasi uner, sedangkan bila dikenakan pada beberapa pernyataan disebut operasi biner.

Bentuk dari operasi logika matematika sebagai berikut

Ingkaran/Negasi.

Operasi ini merupakan operasi uner yang dilambangkan dengan tanda "~" .atau "¬". Ingkaran pernyataan p adalah ~p atau dibaca "tidak benar bahwa p" atau "non p" atau "negasi dari p".

Contoh (1)
p: Jakarta ibu kota negara R I.
~p: Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota Negara RI.
~p: Jakarta bukan ibu kota negara R I.

Contoh (2)
q: 2 + 5 = 10.
~q: Tidak benar bahwa 2 + 5 = 10.
~q: 2 + 5 tidak sama dengan 10.

Contoh (3)
r: 2 > 5 .
~r: Tidak benar bahwa 2 > 5 .
~r: 2 < 5 .

Tabel Nilai kebenaran ingkaran:

atau

Catatan:
Jika pernyataan semula bernilai benar (B) maka ingkarannya bernilai salah (S) dan sebaliknya.

Konjungsi:

Operasi konjungsi merupakan operasi biner yang dilambangkan "∧" dan dibaca "dan". Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan "p ∧ q" dibaca "p dan q".

Tabel nilai kebenaran konjungsi sebagai berikut:

atau

Catatan:

Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa konjungsi bernilai benar (B) jika kedua komponen penyusunnya bernilai benar(B), jika tidak demikian maka konjungsi bernilai salah (S).
Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan seri pada rangkaian listrik seperti gambar berikut:

Dari gambar rangkaian tampak bahwa arus hanya bisa terhubung jika saklar p maupun q tertutup.

Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:

Jakarta ibu kota RI dan Tugu Muda terletak di kota Semarang.
Gedung lawang sewu terletak di kota Semarang dan 6 + 4 = 11
(sin x = 1+ cos2x) dan jumlah sudut dalam segitiga 360.

Penyelesaian:

(1) Kalimat bernilai benar karena kedua pernyataan penyusunnya bernilai benar.
(2) Kalimat bernilai salah karena salah satu pernyataan penyusunnya bernilai salah.
(3) Kalimat bernilai salah karena salah kedua pernyataan penyusunnya bernilai salah.

Disjungsi.

Operasi konjungsi merupakan operasi binar yang dilambangkan "V" dan dibaca "atau". Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan" p V q" dibaca "p atau q".

Tabel nilai kebenaran disjungsi sebagai berikut:

atau

Catatan:
Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa disjungsi bernilai salah (S) jika kedua komponen penyusunnya bernilai salah (S), jika tidak demikian maka disjungsi bernilai benar (B).

Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan paralel pada rangkaian listrik seperti gambar di bawah.

Dari gambar rangkaian tampak bahwa arus tidak bisa terhubung jika saklar p maupun q sama-sama terbuka atau keduanya salah.

Contoh:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan yang berikut:

Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 atau Megawati Wakil presiden RI yang ke4
3 + 4 = 5 atau 5 bukan bilangan prima.

Penyelesaian:

Benar karena Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 bernilai benar.
Salah karena kedua komponennya bernilai salah.

Disjungsi dibedakan menjadi dua macam yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif.

Disjungsi inklusif
adalah jika p dan q merupakan dua buah per-nyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika p dan q keduanya bernilai benar, atau salah satu bernilai salah, sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai salah.

Contoh:
p: Pak Budi orang kaya.
q: Pak Budi rajin bekerja.
p ∨ q: Pak Budi orang kaya atau rajin bekerja.

Di sini mempunyai dua pengertian:
(1) Pak Budi orang kaya saja atau rajin bekerja saja tetapi tidak keduanya.
(2) Pak Budi orang kaya saja atau rajin bekerja saja tetapi mungkin juga keduanya.

Tabel nilai kebenaran disjungsi inklusif sebagai berikut:

atau

Disjungsi eksklusif
adalah jika p dan q merupakan dua buah pernyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika salahsatu bernilai salah (S) atau salah satu bernilai (B), sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai benar (B) atau keduanya bernilai salah (S).

Contoh :
p : Joni naik pesawat terbang.
q : Joni naik kapal laut.
p ∨ q : Joni naik pesawat terbang atau kapal laut.

Dalam contoh tersebut, Joni hanya naik pesawat terbang saja atau kapal laut saja, dan tidak mungkin naik pesawat terbang dan sekaligus naik kapal laut.

Tabel nilai kebenaran disjungsi eksklusif sebagai berikut:

atau

#1. Pengertian Logika dan Kalimat Bermakna

2009-08-24T10:25:00.001-07:00

Dapatkah anda membedakan kalimat berarti dan kalimat tidak berarti?
Berikan contoh masing-masing 2 kalimat.

Artikel Lengkap

Referensi

Chotim, M. 2007. Kalkulus 2 (Handout). Semarang: Unnes (Tidak diterbitkan)

Logika matematika merupakan cabang penting dari matematika sehingga perlu diajarkan pada semua jenis sekolah lanjutan untuk memberikan dasar cara berfikir yang logis dan sistematis. Oleh karena itu obyek-obyek diluar semesta pem-bicaraan tidak perlu diperhatikan agar pembahasan masa-lah dapat terarah dan bisa menghindari kesalahpahaman dalam peninjauannya.

Dalam kehidupan sehari-hari dilakukan komunikasi menggunakan bahasa. Agar komunikasi dapat dimengerti digunakan logika sebagai kontrol. Dalam matematika, bahasa komunikasinya disebut kalimat matematika yaitu kalimat yang menggunakan lambang-lambang matematika. Kalimat dibedakan menjadi 2 yaitu:

Kalimat berarti
yaitu kalimat yang dari padanya dapat ditarik suatu pengertian yang masuk akal dan berarti dalam pikiran.

Contoh:

Matahari terbit dari arah timur.
Harimau binatang buas.

Kalimat tidak berarti
yaitu kalimat yang tidak bisa diterima akal.

Contoh:

Nasi menyanyi tidur makan.
2 + 5 menyangi tidak pergi akan lagi.

Kalimat yang mempunyai arti dibedakan menjadi 2 yaitu: yaitu kalimat pernyataan dan kalimat bukan pernyataan.

Kalimat Pernyataan dan Bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka)

Kalimat Pernyataan
adalah suatu kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu bernilai benar atau bernilai salah, tetapi tidak dapat benar dan sekaligus salah. Kalimat pernyataan juga disebut dengan kalimat deklaratif, statemen, atau proposisi dan dilambangkan dengan satu huruf kecil.

Perhatikan kalimat kalimat-kalimat berikut ini:
Contoh:

p: Semarang Ibukota Jawa Tengah. (benar)
q: 4x + 6x = 12x. (Salah)
r: Semua siswa SMK harus melaksanakan Praktek Kerja Industri (Prakerin). (Benar)
s: Nilai dari 42 x 2-3 = 3. (Salah)
t: 7 + 3 £ 10. (Benar)

Selain kalimat pernyataan di atas ada pula kalimat faktual yaitu kalimat yang nilai kebenarannya baru diketahui sesuai dengan keadaan saat itu.

Contah:

Hari ini matahari bersinar terang.
Besok ada orang yang mendapat hadiah dari Bank.

Kalimat bukan pernyataan
adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Yang termasuk dalam kalimat ini adalah kalimat terbuka, kalimat perintah, kalimat pertanyaan dan kalimat harapan.

Kalimat terbuka
adalah kalimat yang masih mengandung peubah (variabel), sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Peubah (variabel) merupakan suatu lambang yang dapat diganti-ganti nilainya, sedang konstanta adalah suatu bilangan tertentu atau suku yang tidak mengandung variabel.

Contoh:

6x – 4 = 14 (Kalimat terbuka)
3x + 4 < 6 + 2x (Kalimat terbuka)
Hapuslah papan tulis itu! (Kalimatperintah)
Mengapa kamu tidak mengerjakan pekerjaan rumah? (Kalimat tannya)
Mudah-mudahan semua siswa mendapat beasiswa dari Pemkot. (Kalimat harapan)

Sobat, untuk memahami konsep yang sesungguhnya sobat sudah menerima materi ini di bangku SMA, silahkan kerjakan beberapa naskah latihan berikut.

Tugas 1.
Buatlah 5 Contoh masing-masing kalimat dibawah ini:

Kalimat pernyataan
Kalimat terbuka
Kalimat perintah
Kalimat tanya
Kalimat harapan
Kalimat faktual.

Kemudian diskusikan dengan teman anda kalimat yang telah anda buat.

Tugas 2
Tentukanlah kalimat berikut ini merupakan pernyataan atau bukan, dan jika merupakan kalimat terbuka tentukanlah variabelnya!

Semarang terletak di Jawa Tengah.
Terdapat sebuah bilangan prima yang genap.
5x + 8x = 12x
cos 2x = cos2x – sin2x.
Semua siswa mengerjakan soal-soal latihan 1.
Mudah-mudahan semua siswa kelas II naik kelas.
7x – 8 > 6 + 3x
Mengapa kamu terlambat datang ke sekolah?
Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180o.
Sisi segitiga siku-siku disebut hipotenusa.
Presiden Indonesia seorang yang adil dan jujur.
Guru saya seorang yang ramah, baik hati dan murah senyum.
4x + 2y = 10
(x2 – x – 2) = 0
Rumus Luas lingkaran adalah (phi.r^2)

Pengukuran Tingkat Kesukaran Soal Uraian

2009-08-21T23:51:00.000-07:00

Aiken, Lewis R. (1994). Psychological Testing and Assessment,(Eight Edition). Boston: Allyn and Bacon.
Nitko, Anthony J. (1996). Educational Assessment of Students, Second Edition. Ohio: Merrill an imprint of Prentice Hall Englewood Cliffs.
Nunally, Jum C. (1981). Psychometric Theory, Second Edition. New Delhi: Tata McGraw Hill Publishing Company Limited.
Haladyna, Thomas M. (1994). Developing and Validating Multiple-Choice Test Items. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.

(catatan pakardhi: Rumus di atas biasa digunakan untuk memeriksa tingkat kesukaran soal multiple choice)

Fungsi tingkat kesukaran butir soal biasanya dikaitkan dengan tujuan tes. Misalnya untuk keperluan ujian semester digunakan butir soal yang memiliki tingkat kesukaran sedang, untuk keperluan seleksi digunakan butir soal yang memiliki tingkat kesukaran tinggi/sukar, dan untuk keperluan diagnostik biasanya digunakan butir soal yang memiliki tingkat kesukaran rendah/mudah.
Untuk mengetahui tingkat kesukaran soal bentuk uraian digunakan rumus berikut ini.

Kemudian dilanjutkan dengan proses berikut:

Hasil perhitungan dengan menggunakan rumus di atas menggambarkan tingkat kesukaran soal itu. Klasifikasi tingkat kesukaran soal dapat dicontohkan seperti berikut ini.
0,00 - 0,30 soal tergolong sukar
0,31 - 0,70 soal tergolong sedang
0,71 - 1,00 soal tergolong mudah
Tingkat kesukaran butir soal dapat mempengaruhi bentuk distribusi total skor tes. Untuk tes yang sangat sukar (TK<0,25) distribusinya berbentuk positif skewed, sedangkan tes yang mudah (TK>0,80) distribusinya berbentuk negatif skewed.

Tingkat kesukaran butir soal memiliki 2 kegunaan, yaitu kegunaan bagi guru dan kegunaan bagi pengujian dan pengajaran (Nitko, 1996: 310-313). Kegunaannya bagi guru adalah: (1) sebagai pengenalan konsep terhadap pembelajaran ulang dan memberi masukan kepada siswa tentang hasil belajar mereka, (2) memperoleh informasi tentang penekanan kurikulum atau mencurigai terhadap butir soal yang bias. Adapun kegunaannya bagi pengujian dan pengajaran adalah: (a) pengenalan konsep yang diperlukan untuk diajarkan ulang, (b) tanda-tanda terhadap kelebihan dan kelemahan pada kurikulum sekolah, (c) memberi masukan kepada siswa, (d) tanda-tanda kemungkinan adanya butir soal yang bias, (e) merakit tes yang memiliki ketepatan data soal.
Di samping kedua kegunaan di atas, dalam konstruksi tes, tingkat kesukaran butir soal sangat penting karena tingkat kesukaran butir dapat: (1) mempengaruhi karakteristik distribusi skor (mempengaruhi bentuk dan penyebaran skor tes atau jumlah soal dan korelasi antarsoal), (2) berhubungan dengan reliabilitas. Menurut koefisien alfa clan KR-20, semakin tinggi korelasi antarsoal, semakin tinggi reliabilitas (Nunnally, 1981: 270-271).

Tingkat kesukaran butir soal juga dapat digunakan untuk mempredikst alat ukur itu sendiri (soal) dan kemampuan peserta didik dalam memahami materi yang diajarkan guru. Misalnya satu butir soal termasuk kategori mudah, maka prediksi terhadap informasi ini adalah seperti berikut.

Pengecoh butir soal itu tidak berfungsi.
Sebagian besar siswa menjawab benar butir soal itu; artinya bahwa sebagian besar siswa telah memahami materi yang ditanyakan.

Bila suatu butir soal termasuk kategori sukar, maka prediksi terhadap informasi ini adalah seperti berikut.

Butir soal itu "mungkin" salah kunci jawaban.
Butir soal itu mempunyai 2 atau lebih jawaban yang benar.
Materi yang ditanyakan belum diajarkan atau belum tuntas pembelajarannya, sehingga kompetensi minimum yang harus dikuasai siswa belum tercapai.
Materi yang diukur tidak cocok ditanyakan dengan menggunakan bentuk soal yang diberikan (misalnya meringkas cerita atau mengarang ditanyakan dalam bentuk pilihan ganda).
Pernyataan atau kalimat soal terlalu kompleks dan panjang.

Study Kasus Analisis Regresi

2009-07-17T07:52:00.000-07:00

Assalamu’alaikum wr.wb.

Sobat muda Indonesia, alhamdulillah, saya masih dipercaya untuk bisa membantu teman-teman dalam penulisan penelitian. Seorang muda berkarya, Bapak Ajeh, dalam sebuah komentar, menyatakan beberapa pertanyaan yang saya kutip langsung dari komentar beliau seperti ini:

assalamualaikum, maaf nama saya ajeh. saya mau tanya, saya punya penelitian pengaruh kompetensi guru dan kepemimpinan kepala sekolah terhadap efektivitas organisasi sekolah. setiap variabel menggunakan dua jenis sampel yaitu guru dan siswa. kuisoner yang saya berikan pada guru berbeda dengan siswa. bagaimana cara menganalisisnya ya pak? mohon bantuannya sekali, terima kasih. walaikum salam.

Terima kasih atas kepercayaan Pak Ajeh atas pertanyaannya.

Hmmm... lumayan berat ni pertanyaannya. But, semoga dengan ridho Allah saya bisa sedikit memuaskan dahaga atas keingintahuan Pak Ajeh.

Pertama: Tinjauan Jenis Penelitian dan Variabel yang Berperan
Secara sederhana saya melihat ada tiga variabel dalam penelitian tersebut. Variabel tersebut adalah Kompetensi Guru, Kepemimpinan Kepala Sekolah, dan Efektifitas Organisasi Sekolah. Variabel independen dalam penelitian tersebut terdiri atas (1) Kompetensi Guru, dan (2) Kepemimpinan Kepala sekolah. Sedangkan, variabel dependent dalam penelitian tersebut adalah Efektifitas Organisasi Sekolah.

Jenis penelitian yang dapat digunakan dalam penelitian tersebut adalah penelitian kuantitatif, artinya pengambilan simpulan didasarkan pada hasil analisis data dengan menggunakan statistika. Data yang diperoleh adalah data kualitatif yang teah dikuantitatifkan melalui instrumen bernama angket.

Kedua: Tinjauan Pengujian Hipotesis Penelitian
Hipotesis penelitian yang berjudul pengaruh biasanya akan diuji dengan menggunakan regresi. Analisis regresi yang digunakan dalam penelitian ini semestinya tidak sederhana, karena persamaan regresinya berupa sebagai berikut:

Y = a + bX1 + cX2

Hal tersebut karena terdapat dua variabel independen X1 (Kompetensi Guru) dan X2 (Kepemimpinan Kepala Sekolah). Karena bukan analisis regresi sederhana, ada beberapa syarat untuk melakukan analisis regresi tersebut, yaitu:

Uji multikolinearitas (untuk mengetahui adakah hubungan antara X1 dan X2)
Uji heterokedastisitas (untuk mengetahui keakuratan prediksi dari persamaan yang terjadi)

Ketiga: Tinjauan Instrumen Penelitian
Sampel penelitian adalah guru, siswa, dan kepala sekolah. Menurut saya tidak masalah apakah kuesioner akan diberikan ke siswa atau ke guru. Asalkan syarat kuesioner tersebut dipenuhi, yaitu Valid dan Reliabel.

Keempat: Pertanyaan Saya Atas Judul Penelitian Pak Ajeh.
Ada beberapa pertanyaan saya terkait dengan judul penelitian tersebut di atas, yaitu:

Jelas kompetensi guru dapat diukur dengan menggunakan kuesioner dan instrumen data yang akurat, pertanyaan saya, bagaimana mengukur kepemimpinan kepala sekolah?
Apakah yang dimaksud dengn fektifitas organisasi sekolah? Bagaimana mengukur efektifitas oraganisasi sekolah?
Bagaimana dengan sampel penelitian yng berlaku? Dalam penelitian tersebut jelas disampaikan bahwa kuesioner diberikan ke guru dan siswa, bagaimana populasi penelitian yang ada? Bagaimana pemilihan sampel atas gurudan siswa tersebut?

Nah, rasanya itu saja yang saya mampu, dengan ridho Allah semoga jawaban tersebut dapat membantu. Bagaimanapun, jika ada kebenaran atas jawaban tersebut itu hanya karena Allah, dan jika ada kesalahan atas jawaban tersebut, maka itu adalah kesalahan saya.

Terima kasih, semoga dapat membantu.
Wassalamualaikum wr.wb.

Uji Kenormalan Sampel (sampel K-S dalam SPSS)

2009-04-26T01:13:00.000-07:00

Assalamu'alaikum.

Seorang sobat blogger yang juga pakar, mas ishaq (bugishq.blogspot.com), dalam sebuah komentar mengirimkan beberapa pertanyaan terkait dengan pengujian kenormalan dan pengujian beda dua sampel sebagai berikut:

Assalamualaikum Pak Dhe
Mohon bantuannya, bagaimana cara menguji hipotesis dengan uji-t berpasangan pada SPSS atau excel?
Misalkan data hasil belajar siswa berbeda (sebelum dan sesudah ada pemberian perlakuan) misalkan data sebelum itu lebih rendah daripada sesudah ada perlakuan. Dengan sebelumnya dilakukan uji normalitas data. Contoh hasil belajar siswa 10 org.
Wassalam blog BUGIS di www.bugishq.blogspot.com

"Semoga pengungkapan ini tidak menyalahi etika blogging", : pakdhe.

Baiklah sobat, saya coba untuk menjelaskan secara keseluruhan saja dari awal.

Dari pertanyaan sobat bugis, secara sederhana saya mengasumsikan bahwa sobat melakukan penelitian kepada sampel dengan memberikan semacam pre-test dan post-tes. Setelah post-tes tersebut sobat memberikan perlakuan/eksperimen. Setelah eksperimen sobat melakukan post-test. Kemudian sobat membandingkan kedua hasil tes tersebut dengan menggunakan uji t. Benarkah asumsi saya?

Sebelum melakukan uji beda, ada dua syarat yang harus sobat lakukan, yaitu:
1. Uji normalitas sampel
2. Uji homogenitas sampel

Kenapa perlu syarat ini? Beberapa buku hanya mencantumkan syarat ini tanpa memberikan argumen yang sah. Saya akan mencoba memberikan argumen saya mengenai hal tersebut.

Mengapa perlu uji normalitas sampel (Uji kenormalan sampel). Seperti diketahui bahwa Uji normalitas data bertujuan untuk menguji apakah variabel terikat mempunyai distribusi normal.
Dari pernyataan sobat, saya menduga data tersebut adalah data hasil belajar. Bukankah sudah menjadi kesepakatan umum bahwa data hasil belajar berdistribusi normal? (artinya, yang memperoleh nilai sangat bagus dan sangat jelek rata-rata banyaknya sedikit, lebih banyak yang memperoleh nilai 4, 5, 6, dan 7)

Pengujian normalitas data menggunakan uji chi kuadrat dengan rumus

dengan
fo : frekuensi yang diobservasi
fh : frekuensi yang diharapkan
k : banyaknya interval

Kriteria pengujian adalah
H0 : χhitung^2 < χtabel^2
H1 : χhitung^2 ≥ χtabel^2

dengan σ = 0,05 = 5%

Data berdistribusi normal jika χhitung2 < χtabel2 dengan taraf kesalahan 5% dan derajat kebebasan k – 1.

Pengujian kenormalan dengan menggunakan SPSS agak sedikit berbeda. SPSS pada dasarnya adalah software analisis data yang lebih digunakan untuk sosial science. Pada sosial science, diharapkan data tak normal. Berbeda dengan ilmu pasti macam IPA atau matematika, data yang diharapkan adalah data yang normal. Oleh karena itulah, jika pada analysis lain pada SPSS kita mengharapkan nilai sig-nya kurang dari 0.05, pada pengujian kenormalan, kita mengharapkan nilai sig.-nya adalah lebih dari 0.05.

Kita mulai: Misalkan kita punya data sebagai berikut:

Skor A	Skor B
80,00	50,00
56,67	23,33
70,00	20,00
56,67	43,33
76,67	26,67
83,33	36,67
36,67	46,67
53,33	6,67
50,00	36,67
60,00	40,00
30,00	50,00
36,67	80,00
86,67	53,33
76,67	43,33
13,33	73,33

Catatan: Index A dan B dapat disesuaikan dengan keadaan. Sobat ishaq menggunakan data pre-test dan data post-test. Sobat semua juga bisa menggunakan data kelas eksperimen dan data kelas kontrol sebagai pengganti index A dan B.

Berikutnya adalah memasukkan data ke SPSS. Perhatikan pada waktu mengentry SPSS, data skor A dan skor B dijadikan satu kolom. Hasil entry data pada SPSS setelah dikonversi adalah sebagai berikut:

Skor
80,00
56,67
70,00
56,67
76,67
83,33
36,67
53,33
50,00
60,00
30,00
36,67
86,67
76,67
13,33
50,00
23,33
20,00
43,33
26,67
36,67
46,67
6,67
36,67
40,00
50,00
80,00
53,33
43,33
73,33

Langkah analysis dengan menggunakan SPSS adalah menggunakan uji sampel KS (Kolmogorov Smirnov) adalah sebagai berikut:

Klik "Analyze" kemudian "Nonparametric Test" dilanjutkan dengan "1.-Sample K-S…"

Muncul dialog box sebagai berikut:

Masukkan variabel skor ke bagian kanan dengan meng-klik tombol dengan tepi hitam di sebelah tengah tersebut. Kamudian klik OK. Pada bagian out put muncul hasil berikut:

Perhatikan nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 0.952 artinya tidak signifikan. Makna yang terkandung dari hasil tersebut adalah:

Data hasil belajar tersebut berdistribusi normal.

Ok sobat, rasanya itu dulu yang bisa saya tulis, akan saya sambung dengan pengujian beda dua sampel dengan uji t.

Titik Tembus Garis ke Bidang - Solusi #1

2009-04-09T10:45:00.000-07:00

Assalamu'alaikum wr.wb.

Seorang mahasiswa saya memberi komentar dalam sebuah posting saya sebagai berikut:

AsSaLamMuaLaikum. Pak ardhi. .
Saya pRastoMo budiargo mhsw pend.Matematika unNes smt 2.
MsiH ingatkah bpk dngan soaL ini. .
SuaTu kubus ABCDEFGH. Titik P trLtak pda ruas garis FB. FP:PB=1:3.
TenTukan titik tembus gris AP pda bdang BDG?
MNuruT pndapat saya ti2k tmbus ada di atas(garis AP dperpanjang ke knan), tapi tman2 saya brPndapat ti2k tmbus di bwah (gris AP dpRpanjang k kiri). Tp saya sangat yakin dgan pndapat saya. toLoNg kLo bsa dbAhas d bLog bpak ini. .
TrimakasiH.

Nah, untuk memenuhi pertanyaan saudara, saya buat langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut.

Saudara pras, menuliskan permasalahan berikut:

Suatu kubus ABCDEFGH. Titik P terletak pada ruas garis FB. FP:PB=1:3.
Tentukan titik tembus garis AP pada bidang BDG?

Saya merumuskan sekurangnya ada dua cara yang harus dipahami oleh saudara dan kawan-kawan. Namun prinsipnya, untuk menentukan titik tembus garis m ke bidang U adalah mencari titik potong antara garis m dan perpotongan bidang U dan V (bidang V memuat garis m).

Baiklah akan saya coba bahas ketiga cara tersebut:

Cara Pertama :
Gambaran umum soal tersebut adalah sebagai berikut:

Bangun bidang yang memuat AP dengan cara membangun garis yang sejajar AP pada bidang CDHG. Hasil dari peristiwa tersebut adalah terbangun bidang ADP’Psebagai berikut:

Pertanyaan konsep:
Apakah PP’ terletak pada bidang BCGF?
Apakah BG terletak pada bidang BCGF?
Apakah BG dan PP’ sejajar?

Sebut titik potong BG dan PP’ dengan titik T.
Jelaslah bahwa garis potong bidang ADP’P (yang memuat AP) dan bidang BDG adalah garis DT. (Why?)

Langkah terakhir adalah memotongkan garis AP dengan DT. (Kenapa hal ini diperbolehkan?)

Sesuai dengan pertanyaan Saudara Pras, apakah titik tembusnya disebelah kanan atau kiri, saya secara sederhana menjawab bahwa titik tembusnya ada di perpanjangan DT dan perpanjangan AP di sebelah kanan.

Barangkali dengan cara yang kedua, pemahaman tersebut dapat dipermudah.

Cara Kedua:

Tulis bidang yang memuat AP adalah bidang ABFE.
Jelas salah satu titik persekutuan ABFE dan BDG adalah titik B. (Why?) Selanjutnya tinggal mencari satu titik persekutuan yang lain. (ingat aksioma bahwa melalui 2 titik dapat dibuat tepat 1 garis).

Langkahnya adalah sebagai berikut:

Perluas bidang ABFE ke bawah dan bangun bidang ACGE ke bawah pula, (hal ini merupakan intuisi saya, Saudara bisa mempertajam intuisi dengan memperbanyak latihan) menjadi sebagai berikut:

Pertanyaan konsep:
Apakah GO terletak pada ACGE?
Apakah EA terletak pada ACGE?
Apakah EA dan GO sejajar?

Tulis titik potong EA dan GO adalah X. Jelas X merupakan titik persekutuan bidang ACGE dan ABFE. (Why?) Maka anda akan bisa melanjutkan langkah berikutnya sesuai dengan materi yang diatas.

SELESAI.

Bagaimana Saudara Pras? Masih juga belum paham?

Titik Tembus Garis ke Bidang

2009-03-30T07:21:00.000-07:00

Assalamu'alaikum wr.wb.

Salam luar biasa sobat, kembali maaf harus saya ucapkan karena tak bisa memberi kuliah Geometri Ruang minggu ini. Kebetulan saja ada tugas dari Bapak Rektor Unnes untuk mengikuti kegiatan DBE3 di Solo. Hehehe... nginep di hotel bintang 4 boooo...
Mau? Mau? Mau? Sobat musti kuliah saja ya di kampus. :P
Nah, hari ini silahkan sobat memahami catatan saya tentang titik tembus, kemudian tugasnya dikerjakan di buku kerja. Kalau sempat di posting ke blog ya!

Selamat Belajar!

Titik Tembus

Masalah Kontekstual
Perhatikan gambar di bawah ini!
Jika anak panah tesebut dilepaskan menuju ke papan sasaran, dimanakah letak titik tembusnya?

Apa yang dapat Saudara lakukan untuk mengetahui hal tersebut? (Silahkan jawab pertanyaan tersebut sesuai dengan pemahaman saudara.)

Nah, yang jadi permasalahan adalah bagaimana melakukan proses tersebut sesuai dengan konsep geometri ruang?

Baiklah saudara, saya akan coba jelaskan langkah per langkah untuk sajian tesebut. Tentunya ada teorema dan aksioma yang mendasari permasalahan tersebut.

Aksioma 1:
Melalui 2 titik dapat tepat dibangun 1 garis lurus.

Aksioma 2:
Melalui 3 titik tak segaris dapat dibuat tepat 1 bidang.

Mahasiswa saya…
Gambar situasi umum dari kondisi tersebut saya lukiskan kembali dibawah.
Misalkan terdapat bidang U dan garis m. Tentukan titik tembus garis m pada bidang U.
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut saya tuliskan langkahnya sebagai berikut:

Langkah 1:
Bangun bidang V yang memuat garis m.

Langkah 2:
Buat garis potong antara bidang V dan bidang U. Perhatikan bahwa bagian tepi bidang U dan V masing-masing berpotongan. Misalkan titik potongnya di titik P dan Q. Gambar situasi dari kondisi tersebut adalah sebagai berikut:

Langkah 3:
Perpanjang garis m.
Gambar situasi tersebut menjadi sebagai berikut:

Langkah 4:
Jelas garis m terletak pada bidang V (dibangun sesuai dengan langkah 1).
Jelas garis PQ terletak pada bidang V (karena PQ garis perpotongan U dan V).

Apakah garis m dan PQ terletak pada bidang sama? Bidang apakah itu?
Apakah garis m dan PQ sejajar?
Apa yang dapat kalian simpulkan?

Jelas titik tembus garis m ke bidang U adalah perpotongan antara garis m dan garis PQ. Sebut titik R. Gambar situasi untuk kondisi tersebut adalah sebagai berikut:

Jelas T terletak di PQ (terletak di U dan V). Jadi T terletak di U dan V.

Baiklah Saudara rasanya cukup kuliah hari ini, silahkan Saudara pahami konsep garis potong antara bidang dan titik tembus garis ke bidang (dalam hal garis tak sejajar bidang). Selanjutnya untuk mengetahui seberapa dalam pemahaman saudara, maka kerjakanlah permasalahan berikut pada buku kerja Saudara. Sesudah itu, muatlah hasil kerjaan Saudara pada postingan blog saudara.

SELAMAT BEKERJA

Soal Pemahaman:

Dipunyai kubus ABCD.EFGH. Tentukan titik tembus garis AC ke bidang BDG.
Dipunyai kubus ABCD.EFGH. Tentukan titik tembus garis PQ ke bidang ACH, dengan P terletak di garis AE sehingga perbandingan AP : PE = 2 : 1, Q terletak pada BF sehingga BQ : QF = 1 :3.

Irisan Bidang Alpha melalui 3 Titik tak Segaris

2009-03-23T08:35:00.000-07:00

Assalamu'alaykum wr.wb.

Selamat Pagi Saudara Mahasiswa, mohon maaf, hari ini saya tak bisa mendampingi Saudara memahami konsep irisan di geometri ruang. Ada baiknya jika Saudara melakukan diskusi dengan teman kelompok, kemudian hasil diskusi tersebut di posting ke dalam blog Saudara. Saya mengamati belum semuanya blog terisi dengan posting yang bemakna. Jadi, lakukan mulai dari sekarang.

Diskusi hari ini mengenai irisan bidang melalui 3 titik tak segaris. Materi prasyarat untuk memahami materi tersebut adalah pemahaman mengenai garis potong antara 2 bidang. Baca terlebih dahulu, pahami dan kemudian lanjutkan dengan memahami materi ini.

Materi ini berisi seperangkat catatan, tugas dan pertanyaan yang semuanya harus dikerjakan pada buku kerja Saudara.

Irisan bidang dengan suatu bangun ruang

Irisan atau penampang terjadi karena suatu bidang memotong suatu bangun ruang. Bidang irisan yang dimaksud kemudian disebut dengan bidang alpha (α).

Definisi 1:
Penampang atau irisan adalah suatu daerah bidang datar yang dibatasi oleh garis-garis potong bidang itu dengan sisi dari bangun ruang. Penampang atau irisan membagi bangun ruang menjadi dua bagian.

Definisi 2:
Sumbu afinitas (garis dasar) adalah garis potong antara bidang irisan dengan alas bangun ruang yang diirisnya.

Pertanyaan konsep:
Manakah alas dari sebuah kerucut?
Manakah alas dari sebuah limas?
Manakah alas dari sebuah kubus?
Manakah alas dari sebuah balok?

Gambar 1. Ilustrasi bidang irisan

Catatan:

Bidang yang berwarna abu-abu adalah bidang alpha yang dimaksud.

Materi Irisan #1
Irisan bidang alpha melalui 3 titik tak segaris.

Teorema 1:
Melalui 3 titik tak segaris, dapat dibuat tepat 1 bidang.

Bukti: (diserahkan mahasiswa sebagai latihan)

Permasalahan (1)
Lukiskan bidang alpha yang melalui P, Q, dan R terhadap kubus ABCD.EFGH dengan P, Q, dan R adalah masing-masing titik tengah AE, AB, dan BC. Panjang rusuk kubus adalah 6 cm.

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, saya akan menjelaskan langkah-per-langkah proses melukisnya. Perhatikan, saya tak menuntut saudara untuk melukis dengan bentuk stereometris, jadi lukis kubus seefisien mungkin.

Langkah 1: Melukis kubus lengkap.

Lukis kubus ABCD.EFGH dengan ukuran 6 cm, lengkap dengan titik P, Q, dan R.

Langkah 2: Menemukan sumbu afinitas.

Karena ketiga titik sudah jelas, maka langkah selanjutnya adalah menghubungkan ketiga titik tersebut.

Perhatikan bahwa QR merupakan garis potong bidang alpha dengan alas kubus. Dengan demikian, garis QR merupakan sumbu afinitas. Selanjutnya perpanjang sumbu afinitas sampai panjang yang cukup.
Catatan:
Sekarang kita telah memiliki garis potong dengan sisi ABCD. Selanjutnya proses yang lebih mudah adalah mencari garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE.

Langkah 3: Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi yang lain
(dalam proses ini mendahulukan sisi ADHE, saudara silahkan mencoba dengan sisi yang lain terlebih dahulu)

Perhatikan bahwa titik P telah terletak pada bidang ADHE dan P terletak pada bidang alpha. (Why?)
Jelas titik P merupakan titik potong antara bidang alpha dengan sisi ADHE. Artinya untuk menemukan garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE, sukup ditemukan 1 titik yang lain yang merupakan titik potong bidang alpha dan bidang ADHE. (ingat kembali teorema : melalui 2 titik, dapat dibuat tepat 1 garis)

Untuk membuat garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE, perpanjang rusuk AD hingga memotong sumbu afinitas (Why?), sebut titik potongnya adalah titik M1.

Pertanyaan:
Apakah M1 terletak di ADHE?
Apakah P terletak di ADHE?

Tugas:
Hubungkan M1 dan P sampai memotong HE. Sebut perpotongan M1P dan HE dengan nama titik U.

Hasil lukisan adalah sebagai berikut:
Catatan:
Sekarang saudara telah memiliki garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE. Langkah selanjutnya lebih mudah dengan membuat garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG.

Langkah 4: Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG.

Seperangkat tugas yang harus dikerjakan:
Perpanjang DH dan PU, sehingga berpotongan di M2. (Mengapa hal ini diperbolehkan?)
Perpanjang DC sehingga berpotongan dengan sumbu afinitas di M3.

Pertanyaan:
Apakah M2 terletak di CDHG?
Apakah M2 terletak di bidang alpha?
Kalau begitu, disebut apakah M2?

Apakah M3 terletak di CDHG?
Apakah M3 terletak di bidang alpha?
Kalau begitu, disebut apakah M3?

Saya akan menghubungkan M2 dengan M3.

Apakah M2.M3 memotong GH?
Apakah M2.M3 memotong CG?

Sebut titik potong M2.M3 dan GH dengan sebutan titik T, dan sebut titik potong M2.M3 dan CG dengan sebutan titik S.

Gambar lukisan kondisi di atas adalah sebagai berikut?

Catatan:
Sekarang kita telah memiliki garis potong hampir ke semua sisi. Langkah terakhir adalah menguhungkan RS dan TU, dan bidang alpha yang dimaksud adalah PQRSTU.

SELESAI, BAGAIMANA? MUDAH BUKAN?

Nah, sekarang pertanyaan tugas untuk saudara adalah tentukan luas daerah bidang alpha tersebut!
Kerjakan lengkap dengan lukisan gambar pada buku kerja saudara.

TUGAS UNTUK DIDISKUSIKAN DAN DIKERJAKAN:

TUGAS (1)
Lukiskan irisan bidang α yang melalui P, Q, dan R pada kubus ABCD.EFGH. P adalah titik pada perpanjangan BF sehingga BP = BF, dan Q adalah titik potong diagonal AH dan DE, R titik pada rusuk GH sehingga GR:RH = 2:1.

TUGAS (2)

Lukiskan irisan bidang α yang melalui P, Q, dan R pada limas segiempat beraturan T.ABCD. P adalah titik pada rusuk TA dan Q adalah titik pada bidang TBC, R adalah titik tengah rusuk CD.

Data untuk Normalitas

2009-03-22T20:08:00.000-07:00

Assalamu'alaykum wr.wb.

Mohon maaf saudara mahasiswa semua, hari ini saya tak bisa mendampingi Saudara untuk perkuliahan Komputer statistik. Kebetulan ada undangan di Dinas Pendidikan Provinsi untuk mengikuti penjelasan teknis pelaksanaan kurikulum SD, SMP, dan SMA di Jawa Tengah. Untuk mengisi kekosongan waktu, saya meninggalkan tugas ini untuk saudara agar dapat mengefektifkan waktu saudara. Demikian mohon maklum.

Tugas 1: Tips: Gunakan browser IE untuk copy paste data tersebut.

Analisislah data di bawah dengan SPSS atau Excel atau Lisrel agar Saudara dapar mengetahui Kenormalan data dan kehomogenan data di bawah ini.

Nilai 1	Nilai 2	Nilai 3	Nilai 4	Nilai 5	Nilai 6
7	7	6,5	5,2	9	8,4
6,5	6	6,5	7,1	8,1	7
8,4	5,7	6,5	7,1	9	6,2
8,6	7,1	5,1	5,2	6,6	6,8
5,5	5,1	6,1	7,1	7,1	6
7,1	5,5	7,1	7,1	7,1	5,7
8,4	7,7	8,4	5,2	7,8	6,6
5,7	5	5,1	6,6	8,2	7,2
5,1	6,2	5,5	8,7	8,4	7,7
5,5	9,7	5,1	5,4	8,1	7,1
8,4	7,1	8,3	6,6	7,1	6,7
5,5	7,7	5,1	7,1	8,1	7,3
8,1	5,3	6,1	6,6	8,5	5,7
7,1	4,7	5,4	7,1	8,5	7,2
5,1	8,6	6,5	7,1	8,1	6,8
5,7	4,5	5,1	8,6	9	6,3
7,5	7,5	5,1	7,1	6,6	8,4
5,7	8	6,4	9,2	6,6	7,3
6,1	8	7,5	8,1	7,1	5,3
7,5	9,5	6,1	8,5	7,1	7,1
6,5	4,8	8	8,2	5	7,9
6,1	7,5	8,6	6,6	7,1	6,3
6,1	7,3	8,4	6,6	8,1	7
5,5	7,7	5,1	7,1	7,1	7,7
6,9	7,3	5,7	6,6	8,5	5,6
5,1	5,7	8,6	6,6	8,2	5,4
6,1	5,2	5,1	5,2	9,1	6,7
5,7	7,5	4	6,6	8,1	5,4
7,5	6,1	5,1	6,6	7,1	6,4
6,1	6	7,1	7,1	7,1	6
7,5	5,2	5,7	7,8	6,5	6,2
6,8	6,6	5,1	7,1	7,1	6,3
7,5	4,8	5,1	6,6	7,1	8,1
7,1	5,7	5,7	6,6	7,5	8,9
8,1	7,1	5,7	8,1	5	6,5
5,7	6,7	6,1	8,2	8,1	5,4
6,5	7	6,7	5,2	5	5,7
8,6	5,7	5,5	7,1	8,2	7
7,1	6	4,8	7,1	7,1	7,1
7,1	7,5		8,2	8,1	6,3
8,6	5,7			5,2	6,3
8,2	5,2			6,2	5,6
5,5	7,1			7,1	6,7
7,5	6,1			7
5,5				5
5,1

Makna Tabel Analisis Regresi SPSS

2009-02-27T11:02:00.000-08:00

Sobat muda indonesia...

Beberapa waktu yang lalu entah nyasar, entah sengaja, sebuah email pendek mampir ke tempat saya. Isinya kira-kira begini:

"Pakdhe, caranya membaca tabel analisis regresi bagaimana ya?"

Nah, supaya jawabannya tak berlaku seorang saja, maka saya angkat ke dalam postingan blog saja.

Pada dasarnya tabel regresi SPSS adalah sebagai berikut:

Gambar (1) : Tabel untuk mengetahui tingkat pengaruh variabel

Gambar (2) : Tabel untuk mengetahui keberpengaruhan variabel dan koefisien regresi

Tabel dalam SPSS untuk regresi memang ada beberapa, namun hanya dua tabel tersebut yang perlu mendapat perhatian. Perhatikan pada gambar kedua terlebih dahulu. Pada kolom terakhir yaitu pada nilis sig terdapat nilai sig .000, artinya nilai tersebut signifikan karena kurang dari 0,05.

Karena signifikan artinya ada pengaruh antara variabel kemahiran proses dan variabel penguasaan kompetensi (pada analisis ini saya menggunakan variabel kemahiran proses sebagai independet variabel untuk penguasaan kompetensi sebagai dependent variabelnya). Kita tidak perlu memahami makna angka lain pada kolom yang sama.

Beralih ke gambar (1), setelah diketahui bahwa kedua variabel saling berpengaruh, maka tahapan berikutnya kita akan mencari tahu seberapa besar kontribusi yang diberikan variabel kemahiran kepada penguasaan kompetensi. Perhatikan pada kolom R square di atas! Disana terdapat angka ,222 artinya bahwa kemahiran memberikan kontribusi sebesar 0,222 atau 22,2% terhadap hasil penguasaan kompetensi. Artinya 77,8% hasil penguasaan dipengaruhi oleh faktor lain yang tidak terangkum dalam analisis ini.

Catatan Pakdhe : Mengenai besar kecil pengaruh suatu variabel akan saya tulis dilain waktu.

Kembali ke gambar (2), langkah berikutnya adalah mengetahui rumus persamaan regresinya. Secara umum persamaan regresi adalah:

Y = a + bX

dengan Y adalah variabel dependent, dalam hal ini adalah penguasaan kompetensi, dan X adalah variabel independent, dalam hal ini adalah kemahiran berproses. Sedangkan a dan b adalah nilai konstanta yang dicari.

Catatan Pakdhe : Ulasan lengkap mengfenai variabel ada disini.

Berdasarkan gambar (2) diketahui nilai constant-nya adalah -11,409 dan nilai kemahiran berprosesnya adalah 4,505. Dari keterangan tersebut kita dapat memperoleh persamaan regresi sebagai berikut:

Y = -11,409 + 4,505X

Artinya, ketika siswa kita memperoleh skor kemahiran sebesar 22 maka dapat diprediksi bahwa skor tes penguasaan kompetensi siswa tersebut adalah :

Y = -11,409 + 4,505 . 22 = -11,409 + 99,11 = 87,701

Key sobat...
Saya kira cukup untuk hari ini, semoga bisa memberi pemahaman kepada sobat.

Daftar semua materi perkuliahan dan informasi dalam blog ini.

2005-11-18T05:58:00.000-08:00